Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
и t. С их помощью можно выразить все Qi через р{, q{ и t. Таким путём мы
получим первую часть уравнений преобразования (8.4). После этого мы можем
воспользоваться равенствами (8.9Ь) и получить оставшиеся уравнения
преобразования (8.4), для чего достаточно подставить в (8.9Ь)найденные
зависимости Qi=Qi(Pi, q^t). Наконец, уравнение (8.9с) даёт нам
возможность получить новый гамильтониан К.
Если в качестве независимых переменных выбрать qt и Pit то мы будем иметь
дело с производящей функцией типа F2¦ Следует, однако, заметить, что
переход от независимых переменных q, Q к независимым переменным q, Р
может быть выполнен посредством преобразования Лежандра, так как согласно
(8.9Ь)
^________р
dQ, " ^
Это показывает, что производящую функцию Р2 можно получить из Ft с
помощью соотношения
Рг (q, Р, t) = F! (д, Q, Q + Jj Р&. (8.10)
г
Разрешая это соотношение относительно F и подставляя полученный результат
в равенство (8.8), мы получаем
%р^~н==%р&-к+~[р2(д, Р, о-=
K + ~-F2(q, Р, t).
Повторяя теперь процедуру, проделанную нами с равенством (8.8), т. е.
раскрывая производную F2(q, Р, f) и приравнивая соответствующие
коэффициенты при qt и Р4, мы получаем следующие уравнения преобразования:
<*-$ (fUlb)
и
К~Н+%?-. (8.11с)
Выразив из уравнений (8.11а) Pt через qp р{ и t, мы получим вторую группу
уравнений (8.4). Первая группа этих уравнений может после этого быть
получена с помощью уравнений (8.1 lb). Из (8.9а) видно, что производящую
функцию Pg(p. Q> f) тоже можно связать с Fx
264
КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
[ГЛ. 8
посредством преобразования Лежандра. Таким образом, будем иметь
Приравнивая теперь соответствующие коэффициенты, мы приходим к
уравнениям:
Как и ранее, мы из (8.14а) можем получить Qi как функции q, р, t, и тогда
уравнения (8.14Ь) дадут нам новые импульсы Pit выраженные через старые
переменные.
Наконец, в случае, когда в качестве независимых переменных берутся
импульсы pi и Р{, производящая функция Ft может быть связана с двойным
преобразованием Лежандра
Во всех этих рассуждениях время рассматривалось как инвариантный
параметр, не преобразующийся вместе с координатами и импульсами. Такое
преобразование времени автоматически совершается в релятивистской теории
уравнений Гамильтона, где инвариантным параметром системы является
местное время т, а обычное время t играет роль одной из координат. Мы,
однако, сейчас увидим, что в обычное каноническое преобразование тоже
можно ввести изменение масштаба времени (отличное от того, которое даётся
преобразованием, Лоренца).
Fi (?. Q- О = 2 ЧгРг + Fs (Q, р, f), (8.12)
и поэтому равенство (8.8) принимает вид
- 2 Чгк ~ = 2 ~ К + Ж ^ Q, t). (8.13)
(8.14b)
(8.14а)
и
К = Н-f
дРя
dt
(8.14с)
Ftip, Р, t) = F^q, Q, - Емг (8.16)
i i
Тогда равенство (8.8) примет вид
и поэтому будем иметь:
и
(8.17с)
§ 8.1]
УРАВНЕНИЯ КАНОНИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
265
Так как мы не будем более считать время инвариантным, то нужно ввести
некоторый другой параметр, который займёт теперь его место. Роль такого
параметра может играть любая инвариантная величина, характеризующая
степень продвижения сис+емы вдоль её траектории в пространстве
конфигураций. Обозначая этот параметр через 9, мы можем записать
модифицированный принцип Гамильтона в виде
Форма этого равенства показывает, что t можно рассматривать как (га-|-1)-
ю обобщённую координату, а Н-как соответствующий ей обобщённый импульс*).
Поэтому модифицированный принцип Гамильтона можно записать также в виде
образования переменных (включая t) этот принцип примет вид
где Qn+1 - преобразованное время, а Рп+1 - новый гамильтониан К-Следуя
теперь той же процедуре, которая применялась нами раньше, мы можем ввести
производящую функцию G(qit Р4) и с её помощью получить (2л -f- 2)
равенства:
определяющие искомые уравнения преобразования.
Таким образом, мы можем получить канонические преобразования, содержащие
изменения масштаба времени. Однако в дальнейшем мы всюду будем
предполагать, что время является инвариантом, не подвергающимся
преобразованию.
*) Это немного напоминает релятивистское равенство р± =* iHjc, где р± -
обобщённый импульс, соответствующий координате xi=let. Однако это
сходство является чисто формальным и не указывает на какую-либо
физическую связь со специальной теорией относительности.
где через q' обозначена производная . После канонического пре-
И + 1
s f .2 PiQidO = 0,
266
КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
[ГЛ. 8
§ 8.2. Примеры канонических преобразований. Рассмотрим теперь несколько
простых, но важных примеров канонических преобразований, осуществляемых
различными производящими функциями. Пусть производящая функция типа Р2
имеет вид
Следовательно, новые координаты будут в этом случае совпадать со старыми,
т. е. рассматриваемое преобразование будет тождественным.
Более общим является преобразование, осуществляемое производящей функцией
где fi - произвольные функции указанных аргументов. В этом случае мы с
