Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
§ 8.4. Скобки Лагранжа и скобки Пуассона как канонические инварианты.
Условие инвариантности суммы якобианов (8.34) может быть записано в виде
V ( dqj dpt dPi dqj \ ___ у / dQ - dP{ dPt dQ, \ "
jLi \ du dv du dv ) Z4 \ du dv du dv J' '
Каждая часть этого равенства имеет вид так называемых скобок Лагранжа.
Под скобками Лагранжа относительно переменных и и v понимается сумма
Равенство (8.38) показывает, что скобки Лагранжа представляют собой
инвариант канонических преобразований. Поэтому не существенно, какая
именно система канонических переменных применяется
Ji == //// 2 dqi dp-, dqk dp,.
(8.36)
s
(8.37)
%
(8.39)
г
§ 8.4] СКОБКИ ЛАГРАНЖА И СКОБКИ ПУАССОНА 273
при вычислении этих скобок. Это даёт нам право опускать индексы q,
р, и поэтому в дальнейшем мы будем писать скобки Лагранжа
в виде [и, v}. Заметим попутно, что
[и, v] = - {г", и}. (8.40)
Параметры и и к являются координатами точек некоторого дву-
мерного многообразия в фазовом пространстве. Возьмём в качестве такого
многообразия плоскость q^j и вычислим скобку Лагранжа {<7;, q^. При этом
можно, конечно, пользоваться любой системой канонических переменных,
например переменными q, р, которые, очевидно, наиболее удобны. Тогда
скобка [qit qj} примет вид
{q., Ч}} = ^(Ёпдш_дчн_дРв.\
\ dqi dqj dqj dq{ J ' к
Но так как величины q и р являются независимыми, то
дрк _ о _ ЁЖ
dqi dqj
и, следовательно,
[qi, qj}= 0. (8.41а)
Точно так же доказывается и равенство
{Pi,Pj}= 0. (8.41b)
Пусть теперь a=q{ и v = pj. Тогда скобка Лагранжа будет иметь
(ддк дрк dq^ дрк \
\ dqt dpj dp j dq{ J '
вид
к
причём так как
dqu - дРк = п dPj dq/
то второй член разности, стоящей в скобках, обращается в нуль. Однако
первый член этой разности будет отличен от нуля, так как
дрк - ? и ЁЖ - ?
dpj к$ dqi к1'
Поэтому рассматриваемая скобка Лагранжа принимает вид
{?i> Pj} = 2 Zjkhi = bij- (8.41с)
Равенства (8.41), очевидно, справедливы для любой системы канонических
переменных. Фигурирующие в них скобки часто называют фундаментальными
скобками Лагранжа.
274 КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [ГЛ. 8
Более удобными являются так называемые скобка Пуассона, которые
определяются следующим образом:
г 1 / ди dv dv ди \ ,0 .оч
к
причём легко видеть, что
[и, v] = - [v, и]. (8.43)
Между скобками Лагранжа и скобками Пуассона существует
определённая связь, которую мы докажем, не опираясь на
физический
смысл входящих в них величин. Эта связь выражается следующей теоремой:
если а1, а2, ..., и2п суть независимые функции переменных
qlt . . ., qn, рх, . . ., рп, то справедливо равенство
2 п
2 {"г- "г} ["г- "/] = 8ij*)- (8-44)
i=i
Доказательство этого тождества проводится непосредственно, однако оно
несколько громоздко. Согласно равенствам (8.39) и (8.42) сумма (8.44)
может быть записана следующим образом:
I I к т
/ да, ди, ди, ди,
\/ (________________I_____?______
\dqm dpm dqm дрт
Перемножая написанные здесь скобки, мы получаем четыре суммы, первая из
которых равна
яп 2
дрп ди, хл dqk дщ \i дрк ди,¦ dqk
у °Рк у aclk Ul v
Za ~дй7 дрт Za ~дщ dqm Za дщ дрт dqm
к, т I к, т
= = (8.45)
АА dut дрт кт АА дрк дщ
к, т к
*) Из равенства (8.42) видно, что скобки Пуассона являются как бы
"обратными величинами" скобок Лагранжа. Равенство (8.44) придаёт этому
утверждению более точный смысл. Если символ {щ, щ} рассматривать как
элемент Рц квадратной матрицы L, а символ [щ, uj\ - как элемент Ру
квадратной матрицы Р (каждая из которых имеет порядок 2п), то равенство
(8.44) можно будет записать в виде
LP = 1
или
Р = L-1.
§ 8.4]
СКОБКИ ЛАГРАНЖА И СКОБКИ ПУАССОНА
275
Точно такой же вид будет иметь и последняя из этих четырёх сумм, но
вместо рк в ней будет стоять qk. Поэтому, складывая эти суммы, получаем
Легко видеть, что каждая из двух оставшихся сумм равна нулю.
Действительно, одна из них сводится к сумме членов, содержащих общий
множитель
Но так как эти множители равны нулю, то и рассматриваемые суммы будут
обращаться в нуль. Поэтому сумма (8.44) будет равна сумме
(8.46), и, следовательно, можно написать
Таким образом, рассматриваемая теорема доказана.
Заметим, что частная система переменных q, р была в наших рассуждениях
совершенно несущественной и её роль могла бы играть любая система 2п
независимых переменных Q, Р. Поэтому равенство (8.44) сохраняется при
всех преобразованиях переменных, даже если они не являются каноническими.
Этим можно воспользоваться для того, чтобы вычислить некоторые скобки
Пуассона, не делая оговорок относительно частного вида системы
переменных.
Возьмём в качестве кезависимых функций аг величины qv . . ., qn, pv ...,
рп и положим ui = qi, a Uj = pj. Так как переменные qt и pj различны, то
равенство (8.44) принимает вид
(8.46)
V д(>к dui - д^к
диг дрт дрт
а вторая-к сумме, содержащей общий множитель
дри
V, ОН j
\Мр i} uj] - ~^u, ~ ij'
n
n
2 {pi> 4i) \Pv pj] -f 2 {qp qt) pj\ = °-
г i
Но для всех канонических переменных
{Pi> qi}= - hi и {qt, qi} =0, поэтому будем иметь
