Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
решение задачи о движении системы можно свести к нахождению такого
канонического преобразования, при котором все импульсы получаются
постоянными. Сейчас мы видим, что, кроме того, возможно такое
каноническое преобразование, при котором постоянными величинами
становятся не только импульсы, но и координаты. В следующей главе мы
рассмотрим каждую из этих возможностей и покажем, как таким путём можно
получить формальное решение каждой механической задачи.
Важную связь между скобками Пуассона и бесконечно малыми каноническими
преобразованиями можно получить, рассматривая изменение некоторой функции
и (q, р) в результате такого преобразования. Здесь необходимо объяснить,
что мы понимаем под словом "изменение" функции. Раньше, когда мы
"преобразовывали" величину и (q, р) к новым переменным, мы вместо q и р
подставляли в и выражения q(Q, Р) и p(Q, Р). Таким путём мы получали
зависимость и от новых переменных. При этом функциональная зависимость и
от Q и Р оказывается в общем случае не такой, как зависимость и от q и р.
Однако численное значение и, соответствующее данному состоянию системы,
при этом не изменяется, так как u(q, р) есть функция точек фазового
пространства и её значения, конечно, не зависят от вида координат,
которыми мы задаём эти точки. Теперь же мы будем рассматривать
"изменение" функции и в другом-смысле этого слова. Мы будем понимать под
ним численное изменение величины и в результате замены аргумента q на Q и
аргумента р на Р. Функциональная зависимость и от старых и новых
переменных будет при этом одной и той же, но точка фазового пространства,
в которой мы вычисляем и, будет при этом изменяться. Рассмотрим,
например, бесконечно малое преобразование (8.65). В этом случае мы,
подставляя в функцию u(q, р) переменные Q и Р вместо q и р, переходим от
значения u(t) к значению u(t-\~dt).
§ 8.6] БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 283
Таким образом, мы под изменением функции и в результате бесконечно малого
канонического преобразования будем понимать
Раскладывая эту разность в ряд Тейлора и ограничиваясь членами первого
порядка малости, мы будем иметь
Положив здесь и = Я, мы получим следующую формулу для изменения
гамильтониана при бесконечно малом каноническом преобразовании:
Мы уже говорили, что если функция 0(q, р) есть первый интеграл уравнений
движения, то
Но из равенства (8.67) можно заключить, что бесконечно малое каноническое
преобразование, осуществляемое такой производящей функцией, не изменяет
величины гамильтониана Я. Поэтому можно высказать следующее утверждение:
Все первые интегралы уравнений движения являются производящими функциями
тех бесконечно малых канонических преобразований, при которых не
изменяется гамильтониан.
Что касается преобразований, не изменяющих величины Я, то их можно найти,
если обратиться к свойствам симметрии системы, так как если физическая
система симметрична относительно определённых изменений её конфигурации,
то гамильтониан её должен при соответствующем преобразовании оставаться
неизменным. Поэтому все функции, остающиеся в процессе движения
постоянными (все первые интегралы уравнений движения), можно получить
путём исследования свойств симметрии гамильтониана, что равносильно
полному решению задачи о движении системы. С этой связью между
константами движения и свойствами симметрии мы уже встречались в § 2.6,
когда говорили о сохранении обобщённых импульсов. Однако результат,
полученный нами теперь, является более изящным и более полным, так как
сейчас речь идёт о всех константах движения, а не только об обобщённых
импульсах.
8и = и(^ + 8^, а_]_8а.) - м(^, р.).
г
Подставляя сюда bqi и 8/>{ из равенств (8.64), получаем
(8.66)
8Я=е[Я, О].
(8.67)
[Я, G] = 0.
284
КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
[ГЛ. 8
Теоремы о сохранении, полученные нами ранее, будут теперь частными
случаями того общего положения, которое мы сейчас высказали. Пусть,
например, координата является циклической. Тогда гамильтониан её не будет
зависеть от qt и, следовательно, не будет изменяться при бесконечно малом
каноническом преобразовании, изменяющем только q4. Уравнения такого
преобразования будут иметь вид:
где е - бесконечно малое изменение координаты qt. Но из формул (8.64)
видно, что единственной функцией О, осуществляющей такое преобразование,
является функция
представляющая обобщённый импульс, соответствующий координате qt. Таким
образом, мы получили известную теорему о сохранении обобщённого импульса,
согласно которой импульс, соответствующий циклической координате, есть
величина постоянная.
В качестве ещё одной иллюстрации рассмотрим бесконечно малое каноническое
преобразование, соответствующее повороту системы в целом на угол dH.
Физический смысл производящей функции этого преобразования, очевидно, не
зависит от выбора канонических координат, и поэтому мы будем пользоваться
декартовыми координатами точек системы. Кроме то(ю, не уменьшая общности,
