Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Голдстейн Г. -> "Классическая механика" -> 105

Классическая механика - Голдстейн Г.

Голдстейн Г. Классическая механика — М.: Наука, 1975. — 413 c.
Скачать (прямая ссылка): klassicheskayamehanika1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 99 100 101 102 103 104 < 105 > 106 107 108 109 110 111 .. 161 >> Следующая

канонических преобразований.
§ 8.3. Интегральные инварианты Пуанкаре. Каноническими преобразованиями
мы называем такие преобразования, при которых уравнения Гамильтона
сохраняют свою форму. Однако при канонических преобразованиях существуют
и другие инварианты, в частности интегральные инварианты Пуанкаре. К
рассмотрению их мы сейчас и перейдём.
Подобно тому как мы ввели пространство конфигураций, мы введём сейчас так
называемое фазовое пространство, под которым будем понимать 2к-мерное
декартово пространство с координатами 4i> •••> Яп' Pi> ¦¦¦' Рп• Тогда
каждому состоянию данной механической системы будет отвечать определённая
точка этого пространства. Эту точку можно рассматривать как изображение
системы, отражающее не только конфигурацию этой системы, но и её
импульсы. Теперь мы можем перейти к формулировке теоремы Пуанкаре. Эта
теорема гласит, что
270
Канонические преобразовании
является инвариантом любого канонического преобразования. Символ S
означает здесь произвольную двумерную поверхность в фазовом пространстве.
Переходя к доказательству этой теоремы, прежде всего заметим, что
положение точки на двумерной поверхности определяется двумя какими-либо
параметрами. Пусть на поверхности 5 такими параметрами будут и и v. Тогда
будем иметь: = v), Pi-Piiu, v).
Как известно, связь между элементом площади dq^dp^ и элементом площади du
dv определяется якобианом
и имеет вид
Поэтому равенство
d (Чи Pi) д (и, v)
dq t dp -, ¦-
dqi
ди
dqj
дг'
d (q" pf)
д (и, v)
dpt
du
dPi
dv
du dv.
я? dQkdPk,
(S. 32)
(8.33)
выражающее утверждение, что интеграл Jl не изменяется при канонических
преобразованиях, можно записать в виде
d (qj, Pi)
du dv:
Li d (и, v)
S' i ' S' к
Но так как область интегрирования является здесь произвольной, то эти
интегралы могут быть равны только в том случае, когда выполняется
равенство
V д (qi' Pi) - V д Рк)
Zmi d (ll, v) mei d (U, V)
(8.34)
Следовательно, доказательство инвариантности интеграла сводится к
доказательству инвариантности суммы якобианов.
Рассмотрим каноническое преобразование, получаемое с помощью производящей
функции типа Fz(q, Р, t)*). В этом случае из уравнений (8.11а) мы будем
иметь
dpi
du
d_
du
(Щ.
\dq{)'
*) Это требование не является обязательным, так как рассматриваемое
доказательство можно провести и в случае производящей функции другого
типа, в чём читатель может легко убедиться самостоятельно.
§ 8.3]
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ ПУАНКАРЕ
dF
Но производная зависит от и только через аргументы qk и Рк, и поэтому
можно написать
dPi _ V ^ дрк I V <)2р^ дЯк
du
dq{ dPk ди
dqi dqk ди
а также аналогичное выражение для частной производной -=^-.
ставляя теперь полученные выражения в сумму детерминантов дяших в левую
часть (8.34), будем иметь:
(8.35)
. Под-вхо-
V 6 (4i> Pi>
W д (и, v)
2
dqt
ди
dqi
dv
2
дЩ дРк
dqt дРк
&Fa___________
dqi дРк dv
ди
дРк
2
к
¦2
д*Рг dqi dqk
дЩ
dqk
ди
dqk
dqt dqk dv
Разбивая, далее, каждый детерминант на два, а также вынося общие
множители каждого столбца за знак полученных детерминантов, мы можем
записать это равенство в виде
dqj dqk
dip2 ди ди
dqt dqk dqk
dv dv
d fa' PA
д (и, v)
2-
i, к
¦2
dq{dPk
dqt
du
dqt
dv
dPk
du
dPk
dv
Ho первая из сумм правой части этого равенства, очевидно, равна нулю, так
как при перемене местами индексов г и k столбцы детерминантов этой суммы
меняются местами, в то время как эта сумма не должна зависеть от порядка
написания индексов г и k. Вместо этой суммы мы можем поставить любую
другую, имеющую такую же структуру и поэтому также равную нулю. Так,
например, мы можем написать:
2-
dPt dPk dqt dPk
d (?<. Pt) V дЩ du du , V d*Fz du du
d (и, к) ZudPtdPk dPt dPk 1 Za dq{ dPk dqt dPk
i> к dv dv i, к dv dv
При каждом фиксированном k правая часть этого равенства может быть
записана в виде одного детерминанта, в котором первый элемент левого
столбца равен
V d'iRi ^*J-V д2р* дс>* - д дръ
Za. dP{ dPk du ' Za dq{ dPk du du dPk '
Аналогично второй элемент левого столбца этого детерминанта будет равен
d (dF2\
2? 2
КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
(гл. 8
Но согласно (8.lib)
и следовательно,
д Qk дР]с
V д (у* р*> - V
*4 д (и, v) Z4
г к
ди ди dQ/c dPk
к
д (Qk, Рк)
Л "Л '
д (и, v)
dv dv
что и доказывает теорему Пуанкаре.
Аналогичным способом, хотя и более сложно, можно доказать, что интеграл
также является инвариантом канонического преобразования. (S здесь
означает произвольную четырёхмерную поверхность фазового пространства.)
Продолжая так дальше, можно получить целую последовательность
интегральных инвариантов, последний из которых будет иметь вид
В этом инварианте интегрирование совершается по произвольной области
фазового пространства, и поэтому инвариантность интеграла Jn эквивалентна
утверждению, что объём любой части фазового пространства не изменяется
при канонических преобразованиях. Как мы покажем в дальнейшем, отсюда
следует, что этот объём не изменяется со временем.
Предыдущая << 1 .. 99 100 101 102 103 104 < 105 > 106 107 108 109 110 111 .. 161 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed