Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
которую мы здесь указываем, включены лишь немногие из таких книг, среди
которых книга Уиттекера является одной из основных. К вопросам,
рассмотренным в настоящей главе, относятся глава IX и два первых
параграфа главы X цитируемой книги.
А. О. Webster, Dynamics of Particles.
В главе IV этой книги содержится пространное и часто недостаточно
последовательное изложение вариационных принципов и их выводов, которое
сопровождается подробно разобранными примерами. Книга даёт ясное
представление об основных направлениях классической механики в начале
этого столетия.
L. Nordheim, Die Prinzipe der Dynamik (Handbuch der Physik, т. V).
Эта статья содержит достаточно полное изложение различных интегральных и
дифференциальных принципов, могущих быть положенными в основу
классической механики.
Две первые части следующей статьи этого тома, написанной Нордхеймом и
Фюзом, представляют легко читаемое введение в теорию уравнений
Гамильтона.
258
УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА
(гл. fi
С. Schaefer, Die Prinzipe der Dynamik.
Эта небольшая книга объёмом всего в 76 стр. содержит полное изложение
различных принципов механики, в том числе вариационных. (К сожалению,
автор пользуется совершенно неупотребительными обозначениями, применяя
для лагранжиана символ Н, а для гамильтониана - символ R.)
R. L. Lindsay and Н. Margenau, Foundations of Physics.
Принцип Гамильтона и принцип наименьшего действия формулируется так, что
может создаться впечатление, будто механические системы "знают" ту
конечную конфигурацию, к которой они движутся. Хотя это, разумеется,
неверно, так как движение системы определяется только начальными
условиями, однако в прошлом на этом основывались различные философские
толкования указанных принципов. Этот и аналогичные вопросы
рассматриваются в главе 3 цитируемой книги, где указывается литература по
данной теме.
Г Л Л В А 8
КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
При прямом применении уравнений Гамильтона математические трудности
решения задач механики обычно существенно не уменьшаются, так как при
этом нам приходится иметь дело с такими же дифференциальными уравнениями,
как и в методе Лагранжа. Преимущества метода Гамильтона заключаются не в
его математической ценности, а в том, что он более глубоко проникает в
структуру механики, так как равноправность координат и импульсов как
независимых переменных предоставляет большую свободу для выбора величин,
которые мы принимаем за "координаты" и "импульсы". В результате мы
приходим к новым, более абстрактным формам изложения физической сущности
механики. Хотя полученные таким путём методы могут оказать некоторую
помощь при решении задач механики, однако с современной точки зрения их
главная ценность состоит в том, что они играют существенную роль в
построении новых теорий. В частности, именно эти абстрактные концепции
классической механики были исходными пунктами в построении статистической
механики и квантовой теории. Изложению такого рода концепций,
получающихся из уравнений Гамильтона, и посвящаются эта и следующая
главы.
§ 8.1. Уравнения канонических преобразований. Рассмотрим систему,
гамильтониан которой является константой движения, а все координаты qx
являются циклическими. В этом случае обобщённые импульсы pi будут просто
постоянными, т. е. будут иметь место равенства
Pi = Ч'
а так как рассматриваемый гамильтониан не содержит явно времени и
циклических координат, то можно написать
Н=Н(а1, .... с/.п).
Поэтому уравнения Гамильтона для будут иметь вид
дН ,о п
^ = ^==Ю** (8Л)
2t>0
КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИИ
(гл. 8
где и>{ - функции только "г, т. е. также некоторые постоянные. Интегрируя
уравнения (8.1), будем иметь
где ^ - постоянные интегрирования, определяемые начальными условиями.
Таким образом, задача о движении рассматриваемой системы решается очень
просто.
Может показаться, что рассмотренная задача имеет лишь академический
интерес, так как все обобщённые координаты редко бывают циклическими.
Однако каждая материальная система может быть описана с помощью
обобщённых координат не единственным образом. Рассматривая, например,
движение точки в плоскости, можно взять в качестве её обобщённых
координат либо декартовы координаты х, у, либо полярные координаты г, 0.
Каждый из этих вариантов, конечно, одинаково допустим, и вопрос о том,
какой из них лучше, определяется конкретными особенностями
рассматриваемой задачи. В случае, например, центральных сил координаты х,
у являются менее удобными, так как ни одна из них не является
циклической, в то время как среди координат г, 0 есть циклическая - угол
9. Следовательно, цикличность координат связана со способом их выбора, и
в каждом конкретном случае можно подобрать такую систему обобщённых
координат, что все они будут циклическими. Разумеется, если такая система
будет найдена, то дальнейшее решение задачи станет тривиальным. Но так
как те обобщённые координаты, которые мы рассматриваем как наиболее
естественные для данной системы, обычно не являются циклическими, то мы
