Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Голдстейн Г. -> "Классическая механика" -> 108

Классическая механика - Голдстейн Г.

Голдстейн Г. Классическая механика — М.: Наука, 1975. — 413 c.
Скачать (прямая ссылка): klassicheskayamehanika1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 102 103 104 105 106 107 < 108 > 109 110 111 112 113 114 .. 161 >> Следующая

Скобку Пуассона [v, та] можно рассматривать как линейный дифференциальный
оператор Dv, действующий на функцию та. Этот оператор можно записать в
виде
П
" у / dv д dv д \
v ~ Zi\ dqk дрк дрк dqk)
к = 1
или короче
2 п
г = 1
С помощью таких операторов выражение (8.60) можно записать в виде
DuDvw - DvDuw = 2 ~ ("* -Ц) - "fc ¦(,3< Ц) •
i, к
Отсюда видно, что единственными членами этого выражения, содержащими
вторые производные от та, являются следующие:
У" /0 дЧо г д*w \
дгидгк
i, к
Но эта сумма тождественно равна нулю, и, следовательно, разность (8.60)
содержит только первые производные от та. Поэтому можно написать
[И, [V, W)] - [V, [и, та]1 = +BkJ^) > (8-61)
280
КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
[ГЛ. 8
где Ак и Вк - выражения, содержащие и и v, но не содержащие w. Если
положить ъv = Pi (что не повлияет на Л и В), то равенство (8.61) примет
вид
что эквивалентно тождеству Якоби в форме (8.59). Пусть теперь равенства
u(q, р) = const и v(q, р) = const будут первыми интегралами движения.
Положив в (8.59) w = H, мы увидим, что два первых члена этого тождества
обратятся в нуль, и оно примет вид
Следовательно, если и = const и v = const-два первых интеграла движения,
то [и, v] = const также будет первым интегралом движения *). Таким путём
иногда удаётся получить целую серию первых интегралов. Однако часто они
оказываются тривиальными функциями от уже полученных функций и поэтому не
имеют значения.
§ 8.6. Бесконечно малые канонические преобразования. Константы движения и
свойства симметрии. В связи с дальнейшим рассмотрением скобок Пуассона мы
введём понятие бесконечно малых канонических преобразований. Как и в
случае бесконечно малых поворотов, это будут такие преобразования, при
которых переменные q, р изменяются на бесконечно малые величины. (Поэтому
все расчёты мы будем производить лишь с точностью до членов первого
порядка малости относительно этих величин.) Уравнения такого
преобразования можно записать в виде:
[и, [V, Pi]]-[v, [и, Pi\\ = Ai
или согласно (8.52)
Поэтому окончательно будем иметь
Положив затем w = qt, точно так же найдём
и поэтому равенство (8.61) можно записать в виде
-j = [[и, v\ w],
[Н, [и, (r)]] = 0.
Qi - 4i ~f" 6<7i>
Pi = Pi + bPi,
(8.62a)
(8.62b)
*) Этот результат иногда называют теоремой Пуассона.
§ 8.6] БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 281
где bqt и bpi - бесконечно малые приращения координат и импульсов (а не
виртуальные изменения этих величин). Ясно, что производящая функция
такого преобразования будет бесконечно мало отличаться от функции (8.18),
осуществляющей тождественное преобразование. Поэтому производящую функцию
рассматриваемого преобразования можно записать в виде
^ = 2^ + 30 (<?, Р), (8.63)
i
где е - бесконечно малый параметр преобразования. Тогда согласно
равенствам (8.11а) будем иметь
dFf п , dG
: Pi -
ддг "г дЧ!
ИЛИ
Pi- Pi = lPi = -(8.64a)
Аналогично из равенств (8.11b) получим
" dF-, , dG
Qi~ dPi - dP{'
Второй член этой суммы является величиной первого порядка малости
относительно з. Но так как Рг бесконечно мало отличается от pt, то с
точностью до величин первого порядка малости можно G(q, Р)
г\/ \ dG dG "
заменить на G(q, р), а -рр-- на Поэтому последнее равенство
можно записать в виде
2^ = 3-^. (8.64Ь)
Хотя, строго говоря, термин "производящая функция" применим лишь к
функции F, однако его обычно применяют и к функции О. Мы также будем
этому следовать.
Интересным примером бесконечно малого канонического преобразования
является такое преобразование, при котором G = H(q, р)у
а з есть бесконечно малый интервал времени dt. Тогда для oqt
и SjHj будем иметь:
4i = dt-j^^=qidt = dQi> (8.65а)
opi = - dt-Щ^ =р{ dt = dpi. (8.65b)
Эти равенства показывают, что координаты и импульсы изменяются при этом
таким образом, что вместо значений q(t) и p(t) они приобретают значения,
равные q(t-\-dt) и p(t-{-dt). Следовательно, изменение состояния системы
за время dt можно получить посредством
282
КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
[ГЛ. 8
бесконечно малого канонического преобразования, осуществляемого
гамильтонианом Н. Отсюда следует, что изменение состояния системы за
время от до t можно получить с помощью последовательности бесконечно
малых канонических преобразований. Но так как два последовательных
канонических преобразования эквивалентны некоторому одному каноническому
преобразованию, то переход от q{tQ), p(t0) к q{t), pit) можно получить с
помощью канонического преобразования, зависящего от i. Таким образом,
движение механической системы можно рассматривать как непрерывно
совершающееся каноническое преобразование, производящей функцией которого
в каждый момент времени является гамильтониан.
Ясно, что существует и обратное каноническое преобразование, превращающее
координаты q{t) и импульсы p{t) в постоянные величины q(t0) и p(t0).
Получение такого преобразования, очевидно, эквивалентно полному решению
задачи о движении данной системы. В начале этой главы указывалось, что
Предыдущая << 1 .. 102 103 104 105 106 107 < 108 > 109 110 111 112 113 114 .. 161 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed