Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
помощью уравнений (8.1 lb) получим следующие выражения дл5ц новых
координат Qp.
Следовательно, при таком виде производящей функции новые координаты будут
зависеть только от старых координат и от времени, но не от старых
импульсов. Поэтому такое преобразование принадлежит к числу точечных
преобразований, определяемых уравнениями (8.3). Но так как функции fi в
равенстве (8.19) являю ся совершенно произвольными, то можно заключить,
что все точеные преобразования являются каноническими. Уравнение (8.11с)
выражает новый гамильтониан таких преобразований через старый и через
Ортогональные преобразования, подробно рассмотренные нами в главах 4 и б,
являются частными случаями точечных преобразований. Функции fi выражаются
в этом случае равенствами
(8.18)
I
В этом случае мы из уравнений (8.11) будем иметь:
Л
И
к = н.
^2 = 2/*(?1.........бп> t)Pit
(8.19)
i
(8.20)
dfi
производные .
И поэтому производящая функция F2 имеет вид
р2 ~ 2 U-ikQkPг
• г, к
§ 8.2]
ПРИМЕРЫ КАНОНИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
267
Новые импульсы находятся в этом случае из уравнений (8.11а), которые
будут иметь вид
г
Для того чтобы разрешить эти уравнения относительно Р{, достаточно
умножить их на а$к и просуммировать по k:
2 ajkPk ~ 2 ajkaibPi = 2 ^ijPi
к г, к г
^так как из условий ортогональности следует, что 2 ajuaik - hjj ' Таким
образом, окончательно будем иметь
Pi = 2 а-гкРк- (8-22)
к
Отсюда видно, что импульсы здесь подвергаются тому же ортогональному
преобразованию, что и координаты (как и следовало ожидать заранее).
Интересное преобразование получается при производящей функции F1(q, Q,
t), равной
Pi = 2 ЯкЯк-
к
Согласно (8.9а) и (8.9Ь) уравнения преобразования будут тогда иметь вид:
Pi ~ dq{ " Qi'
dQi Яг'
г. е. это преобразование меняет местами координаты и импульсы (новые
координаты совпадают здесь со старыми импульсами, а новые импульсы не
отличаются по существу от старых координат). Этот простой пример может
служить иллюстрацией равноправного положения обобщённых координат и
обобщённых импульсов, в равной степени описывающих движение системы в
уравнениях Гамильтона. Различие между ними практически состоит лишь в
названии, так как мы видим, что, поменяв эти названия, мы получили всего
лишь изменение знака. Поэтому мы можем отбросить наши первоначальные
представления о q как о пространственной координате и о р как о
произведении массы на скорость. В данном случае из уравнений
О.-Ж р.-_Ж
~ дР{ ' i l " dQ{
непосредственно видно, что это преобразование является каноническим. Если
подставить здесь вместо Р{ и -Р$ вместо Q;, то эти уравнения сохранят
каноническую форму.
268 КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [ГЛ. 8
В качестве последнего примера рассмотрим производящую Фикцию
Р i = -тг Ш(72 ctg Q, (8.23)
где т и ш-постоянные, смысл которых будет выяснен позже. При такой
производящей функции уравнения (8.9а) принимают вид:
p = ~±=^mwqctgQ, (8.24)
Р - - _ (8 25)
dQ 2 sin2 Q { }
Эти уравнения можно было бы решить относительно Q и Р, выразив эти
величины через q и р, но для наших целей более удобно поступить наоборот:
выразить старые переменные через новые. Из уравнения (8.25) имеем
?=/i?sinG- (8-26)
Подставив это выражение в равенство (8.24), получим
р = yr2/nu)P cos Q. (8.27)
Так как производящая функция (8.23) не содержит явным образом t, то новый
гамильтониан К равен старому гамильтониану Н, и поэтому нам остаётся
только выразить Н через Q и Р. Пусть константы т и w обозначают массу и
собственную частоту линейного гармонического осциллятора. Потенциальная
энергия его, как известно, равна
2 '
где k - коэффициент восстанавливающей силы. Поэтому гамильтониан этого
осциллятора имеет вид
и тр_ . kq2 _ рЗ . kq'i 2 '2 2т "г 2 '
или, заменяя kpn на о"2, получаем
+ (8-28)
Подставив сюда правые части уравнений (8.26) и (8.27), мы получим
следующее выражение гамильтониана Н через новые переменные:
И~ mPcos2 Q-j- шР sin2Q - шР. (8.29)
Таким образом, этог гамильтониан является циклическим относительно
Q, и поэтому импульс Р должен быть величиной постоянной.
§ 8.3]
ИНТЕГРАЛЬНЫ^ ИНВАРИАНТЫ ПУАНКАРЕ
269
Из равенства (8.29) видно, что он равен полной (постоянной) энергии,
делённой на со:
Уравнение, определяющее Q, принимает теперь следующий простой вид:
Решая его, находим
Q со/ | - сс,
где а.- постоянная интегрирования, определяемая начальными условиями. Из
равенства (8.26) получаем следующую зависимость q от t:
чr= У шsi" (wt +(8•30)
Эта формула даёт хорошо известное решение задачи о гармоническом
осцилляторе.
Может показаться, что применение канонического преобразования к задаче о
гармоническом осцилляторе подобно "стрельбе из пушки по воробьям". Однако
мы имеем здесь простой пример того, как посредством канонических
преобразований можно сделать все координаты циклическими. Рассмотрение
общих схем решения механических задач с помощью этого метода мы отложим
до следующей главы, а сейчас перейдём к изложению общих свойств
