Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
по условию считаются равными нулю.
Следует заметить, что траектория, получающаяся в пространстве
конфигураций в результате варьирования истинной траектории)
(7.31)
250
УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА
[гл. 7
может быть одинаковой как при 8-вариации, так и при Д-вариации. Однако
скорость движения изображающей точки вдоль полученной траектории будет
при этом неодинаковой, так как в первом случае вариация её скорости
должна быть такой, чтобы не менялось полное время движения, а во втором -
чтобы не менялось И.
Для получения Д-вариации можно ввести семейство кривых, зависящих от
параметра а, подобно тому как это было сделано для 8-вариации. Однако
сейчас нам нужно будет варьировать и время, связанное с каждой точкой на
траектории, вследствие чего t нужно будет рассматривать как функцию а.
Поэтому вариация координаты qi(t, а) будет определяться не только явной
зависимостью qt от а, но и неявной зависимостью, осуществляемой через
переменную t. Учитывая это, мы можем написать
г)=*¦(![+"!)• <7-32>
Но легко видеть, что
т dq ьа аа.~,
' да
3 приставляет собой изменение времени t вследствие Д-ва-
риации, которое можно обозначить через At. Поэтому равенство (7.32) можно
записать в виде
Aq = bq-\-qAt. (7.33)
(Заметим, что Д-варьирование и дифференцирование по времени являются
операциями, порядок которых нельзя менять, подобно тому как это делалось
при 8-варьировании.) Соотношение, подобное (7.33), справедливо также для
любой функции f(q, t), для которой оно имеет вид
Д/=8/ + /ДС (7.34)
Действительно, так как
i
то на основании (7.33) можно написать
dq{ Ч dq{
г \ г /
что совпадает с (7.34), ибо первый член правой части этого равенства
равен 8/, а коэффициент при At представляет полную производную .
Равенство (7.34) выражает единственно существенное для нас свойство Д-
вариации, и с помощью этого равенства мы
§ 7.5] ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ 251
докажем принцип наименьшего действия, обходясь без громоздких выражений,
связанных с параметром а.
Действие А можно записать в виде
л = / 2 рк dt = J (L + H)dt = J Ldt + H (t2 - t,) (7.35)
*i 4 t, t,
(так как H - const). Поэтому \A будет равно
U
ДЛ = Д J /,Л + Я(Дг2-Дг^),'
причём, варьируя этот интеграл, следует варьировать и его пределы.
Обозначая первообразную от функции L(t) через /(/), будем иметь
^9
Д J Ldt = Д/(1?2) - Д/ОД,
что с помощью формулы (7.34) можно записать в виде
^2
*1
или окончательно
Д j* L dt = о/ (/,) - о/ (гД + / (/2) Д/2 - / (/,) Д/j
Д J Ldt=--b J Ldt + LM \ (7.36)
t, ty
По поводу полученного равенства следует сделать одно замечание. Может
показаться, что в соответствии с принципом Гамильтона первое слагаемое
правой части этого равенства должно обращаться в нуль. Это, однако,
неверно, так как принцип Гамильтона требует, чтобы в конечных точках
траектории обращались в нуль вариации o<7j, тогда как в данном случае в
этих точках обращаются в нуль вариации ДОднако вычисление вариации этого
интеграла можно провести без особого труда. Согласно определению 8-
вариации имеем
t г ti i
что с помощью уравнений Лагранжа можно записать в виде
81 i ¦" ¦- 2 J [ш (f)8*+f IН * ¦- 2 J s (t) ¦" ¦
252
УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА
[гл. 7
Воспользовавшись теперь равенством (7.33), получим
?3 t з
S [ Ldt
причём в конечных точках траектории все Aqt обращаются в нуль, а М -ф 0,
так как время движения не является постоянным. Поэтому будем иметь
Учитывая теперь равенства (7.36) и (7.37), получим полную вариацию
действия
что согласно определению Н равно нулю. Таким образом, принцип наименьшего
действия доказан *).
Принципу наименьшего действия можно придать различные формы. Рассмотрим,
например, случай, когда уравнения (1.36) не содержат время явным образом.
Тогда согласно равенству (2.56) будем иметь (в нерелятивистской
механике):
При этих условиях принцип наименьшего действия приобретает следующий вид:
Пусть, далее, на эту систему не действуют активные силы, как, например, в
случае свободного твёрдого тела. Тогда Т будет оставаться постоянным, и
принцип наименьшего действия примет вид
Согласно равенству (7.39) траектория системы в пространстве конфигураций
такова, что, двигаясь по этой траектории с заданной энергией, система
проходит путь между двумя её точками в кратчай-
*) Принцип наименьшего действия обычно связывают с именем Мопер-тюи.
Однако высказанный им в 1747 г. принцип имел туманную теологическую форму
и вряд ли может в настоящее время рассматриваться как принцип механики.
Строгой формулировкой и доказательством этого принципа мы обязаны Эйлеру
и Лагранжу.
(7.37)
г
(7.38)
д(у2- /,) = 0.
(7.39)
§ 7.5]
ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ
253
шее время (точнее, время этого движения является экстремальным). В данном
случае принцип наименьшего действия напоминает известный принцип Ферма в
геометрической оптике. Согласно этому принципу световой луч всегда
выбирает тот путь, при котором время движения от данной точки А к данной
точке В является наименьшим. Нам ещё представится случай вернуться к этим
