Задачи по физике твердого тела - Голдсмид Г. Дж.
Скачать (прямая ссылка):
5 р 15М \ramj \~4п J '
где плотность р = ЗУИ/4лго, а М - масса атома.
Наконец, используя выражение для скорости Ферми,
_ bkF _ 1 /9 у/з
Vp т mru V 4я / '
получаем
s т "
Vs = ТЕЖ v~Fm
Вычисленная величина скорости звука в Li (пользуемся значением найденным
в задаче 11.1) равна 3- 105 см -сект1. Экспериментальное значение этой
скорости равно 4,8- 105 см сек1.
11.11. Система свободных электронов описывается набором волновых
функций Ч*1*, которые являются плоскими волнами. В системе действует
потенциал V (г, t) самосогласованного поля. Этот потенциал учитывает
приложенное извне поле и создаваемую электронами экранировку. При этом
можно считать, что гамильтониан этой системы имеет тот же вид, что и для
независимых частиц:
?Г = ?Г0+У(г, t),
где ?Г0 = ?/2т, ^Г0^* = №-
Определим оператор "матрицы плотности" р следующим соотношением:
где f0 (Шь) - функция распределения Ферми. Обобщение этого оператора на
возмущенные состояния дает оператор р, который удовлетворяет уравнению
Лиувилля
Допустим, что р отличается от р0 лишь малым возмущением рх:
Р = Ро + Pi-
Подставляя р в уравнение Лиувилля и пренебрегая членами, содержащими
произведения вида Vpi, получаем линеаризованное уравнение
|Pil^+9> = OF* I["ДГ,, Pd \vt+q) + OF*![V, Ро]IT*+,) = = (S* - Шк+Ч) <T*
I Pl I V*+g) + [fo (?* + ,) ("*)] V (q, t),
286
где V (q, t)- коэффициент Фурье функции V (г, <) для волнового вектора д:
(Т*| V\Vi + 7) = V(q,t).
Чтобы найти диэлектрическую проницаемость, рассмотрим теперь Vs, т. е. ту
часть V, которую создает индуцированный заряд с плотностью п (п - число
частиц в единице объема). Величины Vs и п самосогласованно связаны
уравнением Пуассона
V2VS = 4ле2п.
Следовательно,
Vs(q, o = +
k'
Уравнение Лиувилля для Vs принимает вид ih (А) (Т* j Pi | ?* + ?) = (Ш"
~&k + q) (Т* I Pi I ъ + ?> +
+[/о (**+,)-/" (**)] 2 <**• I pi I ъ-+д).
№
Зависимость от времени для Vs должна быть той же самой, что и для
приложенного потенциала, а именно - периодической, вида е*ш'.
Поляризация Р системы связана с п соотношением V ¦Р = еп, а с
электрическим полем -диэлектрической проницаемостью е (со, q) по
соотношению
4лЯ(?, /) = [е (оо, q)-\\E{q, t).
Учтем, что
E(q, t)=~qV(q, t).
Исключая Е из приведенных выше уравнений, получаем для диэлектрической
проницаемости
г /" "1 1 "VM'.+J-f.A)
'("•") = >-5Г4 •
11.12. При малых q для разности энергий приближенно выполняется
равенство
&Л + д - *7
и
/о ("*+,)
дёк
Записывая суммирование по к как интеграл, имеем 4яе2 Г1 q-VkEk df 4пег
Г dfQ
(здесь N (SF) - плотность состояний на поверхности Ферми), так как dfddUk
ведет себя, как дельта-функция при Ш = Таким образом, е-"-оо при q-*-Q.
Экранированный потенциал примеси получаем делением потенциала
неэкранированного точечного заряда на н (д, 0):
V9Kp (Я, 0):
Ml
ранству дает
^иеэкр(9> 0) 4nZe2
Экр * w/ Е(9, 0) ?2 + Х2 '
Переход с помощью преобразования Фурье к обычному г-прост-
У"кР (г) ехР (-кг).
Поскольку с самого начала мы пользовались ограничивающим приближением q0,
то этот результат неверен вблизи от точечного заряда, где становятся
существенными высшие члены в разложении по q.
Для Ag радиус экранирования Л, = 3 ¦ 10~а см.
11.13. Из задачи 11.2 следует, что смещение 6ft от равновесного
положения ферми-сферы определяется уравнением
Полагая
имеем
где F- приложенная сила, а т -время релаксации для столкновений частиц. В
данной задаче силой является сила Лоренца, обусловленная действием
электрического Е и магнитного Н полей:
m{v + T )""' = -<(fi+7'x4
Е=(ЕХ, Еу, 0), Н=(0,0,Н,),
= 1 (шст)2 ~~
&Vy = ! + (ШсТ)2 (Еу + шст?*),
где шс = еН/тс.
Вектор плотности тока j связан с электрическим полем Е формулой
ji = (r)ikEk t
и поскольку jx = nebVx, то
/ 70 -шст7о 0
аш = щ-zya у а 0
Тензор сопротивления, определяемый выражением
Е i - Pikik,
является обратным тензору а;/:
/ р (остр 0\
Рс* = - Р 0 ;
V 0 0 р/
здесь р = 1 /а. Таким образом, диагональные элементы не зависят от
магнитного поля.
11.14. а) Член, описывающий рассеяние в уравнении Больцмана, обычно
записывается в виде
fdf\ ____/-/о
\dt /столки Т
Время релаксации как универсальная величина существует только в том
случае, если оно не зависит от энергии и направления. Обычно понятие
времени релаксации определяют эмпирически применительно к измеряемому
свойству. Определенные таким образом времена релаксации для электронной
теплопроводности и для электропроводности равны тогда и только тогда,
когда имеет место упругое рассеяние или рассеяние преимущественно на
большие углы.
б) 1) Две эти группы независимы, следовательно,
-1- = а = а1 + а2 = 51т1 + 52т2; B = -i~vFA,
где S/г-средняя скорость Ферми, а Л-площадь поверхности Ферми.
2) Предположим, что в пределах каждой группы, при наличии также и
фононного рассеяния, вероятности столкновений аддитивны. Тогда
о*=о1 + о*= Bi +-А
______I___ i_______
To ~ TX To T*
где звездочкой обозначено общее значение а. Считаем, что xlt т2>т0. Тогда
о*=в,т.(1-а-)+ал(1-Л).
