Задачи по физике твердого тела - Голдсмид Г. Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Если уровень Ферми проходит, как показано в случае 3, т. е. находится
внутри запрещенной зоны, то вещество является диэлектриком.
Для того чтобы кристалл был диэлектриком, уровень Ферми должен
оказываться в запрещенной зоне для всех значений к. Далее, для
большинства диэлектриков имеется широкая, порядка нескольких электрон-
вольт, энергетическая щель между валентной зоной и зоной проводимости.
Если энергетическая щель узкая, так что электроны могут при тепловом
возбуждении преодолевать ее непосредственно или при помощи примесей
(электроны могут занимать энергетические уровни примесных атомов внутри
щели) и,
303
следовательно, попасть в итоге в зону проводимости, то вещество обладает
полупроводниковыми свойствами.
Для металлов мы можем изобразить в Л-пространстве поверхность, которая
является поверхностью постоянной энергии на границе Ферми. Для двумерного
случая, показанного на рис. 12.7.1, б и в, энергетические зоны и
поверхности Ферми изображены для направлений [1,0] и [1,1].
В данном случае так называемые карманы - совокупность занятых состоянии
во второй зоне Бриллюэна (зачерненные области В) - в то же время приводят
к появлению "пустых" карманов - совокупности незанятых состояний (дырок,
обозначенных буквой А). Оба типа карманов образуются обычно вблизи границ
зоны, где ход изменения энергии в зоне заметно отличается от
параболического и где эффективная масса значительно отличается от массы
свободного электрона. Вследствие близости карманов к запрещенным областям
энергии число эффективных носителей тока в таких случаях невелико.
12.8. Компоненты тензора эффективной массы могут быть получены из
компонент тензора обратных эффективных масс. Ненулевые компоненты тензора
эффективных масс имеют вид
1 "гг
тпхх =----, mv" =----------5--г-,
ctvv сс сс -а
^ХХ уу 22 yZ
CLyy OLuz
mZ2 -------- г- , muz = mzu ------------ -5- .
а сс -aJ у у ос а -а2
у у гг уг уу гг уг
Чтобы определить вид энергетических поверхностей, надо разложить Ш (к) по
к в нижней части зоны. Используя разложение в ряд Тейлора и рассматривая
члены порядка не выше второго, получаем
= +
i ц
Предположим, что энергия отсчитывается от нижнего края зоны (ё0 = 0).
Тогда вклад членов с первой производной обращается в нуль, поскольку Ш в
общем случае является четной функцией к. Вторые производные от Ш
пропорциональны компонентам тензора обратных эффективных масс (см. задачу
12.6). Следовательно,
?= 2 (axxkl + auyksy + аггк\ + 2axykyk2),
и, следовательно, поверхности постоянной энергии имеют форму эллипсоидов.
12.9. Если записать потенциальную энергию V (г) как сумму вкладов от всех
атомов в элементарной ячейке кристалла, то
V(r)=J^u(r-8i),
I
304
здесь V (г) - периодическая функция с периодом решетки. Величины входящие
в аргументы членов суммы, представляют собой векторы, определяющие
положение атомов в ячейке. Тогда
V И = 2 V (Кп) ехр Щп ¦ /¦) = 2 2 и ^ ехр =
п I п
= 2"(*")5(*") ехр (iKn-r),
П
где S (К") - структурный фактор:
5 (Кп) = 2 ехР (- Wn ¦ Si),
i
В случае гексагональной плотноупакованной структуры положения двух атомов
внутри атомной ячейки задаются векторами
rv 1,1,1
S1 - О, S2 - у + з~ аг "Ь ~2 аз,
где alt а2, а3 - единичные векторы, направленные вдоль ребер ячейки Бравэ
рассматриваемой структуры.
Для любой точки, находящейся на гексагональных гранях зоны Бриллюэна,
структурный фактор обращается в нуль, поэтому на этих гранях в
энергетическом спектре нет разрывов и, следовательно, запрещенные
интервалы энергии отсутствуют.
12.10. Чтобы получить требуемую форму уравнения Шредин-гера, нужно
сделать подстановку
Чгл*И = ехр (ik r)Unk (г).
После подстановки уравнение Шредингера может быть записано в виде
(е?Г + е/Г') Unk (г) = $nUnk И,
где
JT = ? + V(r), <%T'=h^,
2т 1 ' ' т *
№
Ш'п = Ша(к)
2т
Для малых к мы рассматриваем &ЙГ' как возмущение и разлагаем ипи (г) по
полной системе функций ыго (все i), определенных при к = 0. По теории
возмущений
"<*) = "(0) + ^.+ I §0^.
п'фп
где
= ы-.РппЖ. Рпп. (*) = еи*, (r) (_ ,-ftV) "",* (г) dr
т *
являются матричными элементами оператора импульса между функциями,
соответствующими границам зоны, когда Л = 0. При
305
ft = О вообще нет членов, линейных по к, и
Это выражение может быть записано в виде
где
^(0)^(0)
п'фп
Если имеет место взаимодействие между электронами разных зон, например 1
и 2, то
и эффективные массы будут равны по величине. Например, в германии
эффективная масса те электронов почти изотропна (это относится и к
эффективной массе дырок тн). Эксперимент дает те = 0,036т и mh = 0,042m.
12.11. Функция потенциальной энергии в уравнении Шреднн-гера обладает
свойством
где Rj - трансляционный вектор кристаллической решетки.
Рассмотрим группу трансляций, т. е. операции симметрии Т,-, с помощью
которых кристаллическое пространство переносится на вектор Rf.
Очевидно, что функция V (г) инвариантна по отношению к этим операциям.
Следовательно, операторы Гу коммутируют друг с другом и с гамильтонианом.
