Задачи по физике твердого тела - Голдсмид Г. Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, решения уравнения Шредингера являются также собственными
функциями оператора Г,:
где Ау* - собственные значения оператора Tj, они могут быть записаны в
виде
rTnUMPUPUUP TTRVY ППР 7ТР ПППЯТР TTUUUTY ТПЯНР 7Т СТИММ Т'-.Т'. РДПИИТР^
,Щ /ар
бар
m
V(r) = V(r+Ri),
Tir = r+Ri.
TjVk (r) = VF* (r),
Ay* = exp (ik Rj).
V* (r + Rj) = exp (ik . Rj) V* (r).
306
Если мы определяем ик (г) как
uk (г) = ехр (- ik ¦ г) Wk (г),
то
Uk (r) = uk (r+R,) и Y* (г) имеет вид функции Блоха
4%, (г) = ехр (ik-r) и* (г),
где функции иь(г) имеют ту же периодичность, что и решетка.
Для бесконечного кристалла комплексные значения к дают решения, которые
следует отбросить, так как они приводят к функциям, неограниченно
возрастающим по некоторым направлениям. Однако для конечной решетки, т.
е. для образца, используемого в лаборатории, или для тонкой пленки,
толщина которой может составлять всего лишь несколько межатомных
расстояний, эти решения с комплексным k могут играть важную роль при
трактовке наблюдаемых физических свойств образца.
В бесконечном кристалле вероятность нахождения электрона в любой ячейке
одинакова. Сам по себе периодический потенциал не дает рассеяния
электронов, приводящего к электропроводности металлов.
12.12. Векторы обратной решетки для этой задачи: 0; ±2; ±4, ±6...
Потенциал имеет вид
V (х) = -3 - 2 cos 2х = -3 - 2 [ехр (2ix) + ехр (-2/х)]/2.
Таким образом, имеется только три ненулевых коэффициента Фурье: V (0) = -
3; V (2) = V (-2) = -1. Если волновая функция разложена по плоским волнам
У* M = ?v (k + Кп) ex р [i (k + Кп) X]
Кп
и в таком виде подставлена в уравнение Шредингера, то детерминант для
энергии имеет вид
-1 0
2)2 - 3 -<? -1 0
- 1 k2 - 3 - с? -1
0 - 1 (*+2)г-
0 -1
Детерминант обращается в нуль, когда Ш является одним из интересующих нас
собственных значений. Для k = 0 рассматривается нечетное число волн,
тогда как для ? = ±1 (состояние на границе зоны) диагональные члены
расщепляются на пары одинаковых членов и в разложение входит четное число
волн. Результаты для различных чисел волн и различных значений k
приведены в табл. 12.12.1.
307
Таблица 12.12.1
к Число ВОЛН в
0,0 1 3 5 7 -3,00 -3,4495 -3,4551 -3,4551 1,00 0,9172 0,9170
1,4495 1.3715 1,3713 13,08 12,96 13,08 13,03 33,05 33,13
0,5 3 5 -3,2956 -3,3073 -0,3731 -0,4625 3,4187 3.3486 9,35 17,32
1,0 2 4 6 -3,00 -3,1098 -3,11025 - 1,00 -1,1400 -1,1409 6,108 6,045 6,142
6,078 22,06 22,06
Существуют [86] точные решения этой задачи, которые дают следующие
значения -3,4551; -3,3075; -3,11025 для ниж-
них уровней при Л = 0; 0,5 и 1,0 соответственно.
Заметим, что на границе зоны энергетическая щель -1,1409 -Ь + 3,11025""
1,97 почти вдвое превышает коэффициент Фурье V (2), полученный из теории
возмущения.
Для этой задачи можно также получить значения собственных функций
импульса v (? + /("). Они приведены в табл. 12.12.2 для k = 0,0; 0,5; 1,0
для наименьшего собственного значения. Величины v2(? + /Cn)
пропорциональны вероятностям того, что электрон имеет импульс (k-{-Kn)•
Таблица 12.12.2
к v (*) у (к-2) v(* + 2) у (к - 4) v(fc + 4)
0,0 0,5370 0,1222 0,1222 0,0074 0,0074
0,5 0,5177 0,2089 0,0795 0,0166 0,0039
1,0 0,3965 0,3965 0,0437 0,0437 0,0017
12.13. В приближении сильной связи в трехмерном случае волновую
функцию можно записать как линейную комбинацию атомных волновых функций
(атомных орбиталей), сосредоточенных вблизи различных атомов,
Y* (г) = 2 ехр (ik- R,) Ф (г-/?,).
Используя эту волновую функцию в качестве пробной, находим, что среднее
значение энергии должно быть равно
& = И (г) dr.
308
Вводя обозначения
н [Rn) = $ф* и^'ф (/¦+ Rn) dr, S (R") = 5 ф* (г) ф (r+Rn) dr, где
интегралы берутся по всему объему, получаем
2 ехр (- ik ¦ Rn) Н (Rn)
щ___
^ j ехр ( ik' Rn) S (Rn)
Теперь
(Г - Л;) = (- V2 + У) Ф, (Г - Л,) =
= [-^ + "/(г-Л,)]фх(г-Л,) + [1'-<7(г-Л,)]ф,.(г-/?|).
где К -потенциал кристаллической решетки, <7 - атомный потенциал,
сосредоточенный на Rt, так что
[- V2 + U (г - /?,)] Ф>. (г - Лi) = (г - Л,)
и #х - собственное значение энергии атомных волновых функций.
Основные приближения этого метода заключаются в том, что мы пренебрегаем
всеми S (Rn), кроме тех, для которых R" = О, и всеми интегралами
S Ф* ir-Rj) [V-и (г-Rj)]Фх (г -Л,) dr,
кроме случая, когда Rj = R{ (одноцентровые интегралы) и когда Rj и Ri -
ближайшие точки решетки (двуцентровые интегралы). Пусть
"х = \ Ф* (r - Ri) [V - U (г - Rt)] ф* (г- Ri) dr, h (Rj) = №(r-R,)[V-
U{r-Ri)] Фа (r- Rr- Rj) dr. Тогда Ш имеет вид
Ш = Шк + Ох + 2 ехр (ik ¦ Rj) Рх (Rj),
суммирование проводится только по ближайшим соседям. Когда Ф?. являются
s-функциями, все рх(/?>) равны:
Ш = + "х + Рх ? ехр (ik ¦ Rj)
и для объемноцентрированной кубической структуры со стороной
элементарного куба а суммирование дает
* = + "X + 8Р?. COS kxOj COS kyaj cos (~ k^aj •
Следовательно, для малых k имеем
^ + aK + 8Px - Я2Рх (kx -f- kl + kl).
309
Энергетические поверхности в этом случае представляют собой сферы,
