Задачи по физике твердого тела - Голдсмид Г. Дж.
Скачать (прямая ссылка):
(13.2.8)
Й
оо
Ро = -(m$kT)W ехр [(g" - SF)/kT] ¦ J *i/2exp (-*") dxv, (13.2.9)
О
где
хс = {Ш-Пс)!кТ, xv = {$v-%)/kT. (13.2.10)
Верхний предел интеграла по зоне проводимости мы взяли равным + со, а не
действительной энергии, соответствующей вершине зоны проводимости;
возникающая при этом погрешность невелика, поскольку значение функции
распределения /0 (Щ с увеличением Ш уменьшается так быстро, что в любом
случае сколько-нибудь значительный вклад в интеграл дает лишь часть зоны
проводимости. Аналогично можно объяснить, почему за нижний предел
интеграла для валентной зоны выбрана - оо.
Интегралы в выражениях (13.2.8) и (13.2.9) можно оценить с помощью таблиц
или заметив, что каждый интеграл сводится к гамма-функции Г (3/2) = У
п/2. Подставляя эту величину, можно получить
"о = ?/с ехр [- фс - %p)!kT\ (13.2.11)
Ро = Uv ехр [- @F-Sv)/kT], (13.2.12)
где
Uс = 2 (2nm*kT/h2)3^2, Uv - 2 (2nmpkT/h2)3/l2. (13.2.13)
Согласно (13.2.11), (13.2.12) и (13.2.13) произведение п0р0 (при
фиксированной температуре) имеет постоянное значение
ПоРо = UcUv ехр (- АШ/кТ) =
l2nlm*m*ynkT\
= 4^- - пт"------)ехр(-А Ш/кТ), (13.2.14)
где АШ = Шс - Ш-ц - ширина запрещенной энергетической зоны между зоной
проводимости и валентной зоной. Это и есть закон действующих масс для
полупроводников. Заметим, что приближение Больцмана (и, следовательно,
закон действующих масс) не выполняется, когда экспоненциальный множитель
в (13.2.11) или в (13.2.12) равен единице или больше, т. е. когда nQ>Ue
или Ро > Uv. В германии и кремнии при комнатной температуре значения Uc и
Uv порядка 1019 см 3.
319
В собственном полупроводнике концентрации п0 и р0 равны. Подставляя п0 =
р0 = щ (я,- - концентрация электронов и дырок собственного
полупроводника) в (13.2.14), получим
noPo = ni(T),
(13.2.15)
где
щ = VUcUv ехр (- bSpkT) =
/2л (m*m?)i/2*rys/2
j ехр (-А 1/2*7). (13.2.16)
Концентрация носителей тока в собственном полупроводнике будет, очевидно,
экспоненциальной функцией температуры с энергией активации А?/2.
13.3. В общих выражениях (13.2.11) и (13.2.12) для п0 н р0 содержится
также зависимость п0 и р0 от Однако для собственного полупроводника п^ =
р0 = щ.
Приравнивая правые части выражений (13.2.11) и (13.2.12) и решая
полученное уравнение относительно с учетом (13.2.13), получаем
Отсюда ясно, что при m% = m% уровень Ферми лежит в запрещенной зоне
посередине между краями зоны проводимости и валентной зоны; если m*p>m.n,
то он смещается слегка вверх из этого положения, если т%>т%, он смещается
вниз.
Поскольку кТ обычно много меньше ширины запрещенной зоны А$, то даже если
одна эффективная масса много больше другой, смещение уровня Ферми от
среднего положения между зонами (в масштабе энергии запрещенной зоны)
будет не очень большим.
13.4. В теории Бора для водородоподобных атомов орбитальный угловой
момент квантуется,
Кроме того, для круговых орбит центростремительную силу mv2/r~mns32 можно
приравнять силе кулоновского притяжения
- е2/гг2, где е -диэлектрическая проницаемость 'среды:
здесь гп - радиус орбиты, а co"-орбитальная угловая скорость для орбиты,
на которой угловой момент равен пй. Из соотношений (13.4.1) и (13.4.2)
легко найти гп и сол (напомним, что
Ln ~ ftinJ п№ л)*
$F= 4 (*" + 8v) + kT In (m*plm*)V*. (13.3.1)
Ln = nH (n= 1, 2, 3, ...).
(13.4.1)
(13.4.2)
ел2Й2
(13.4.3)
(13.4.4)
320
Кинетическая энергия электрона в п-м состоянии 1 1
%k = -2 тЙвЙ=2-тЯлХ = (13.4.5)
а потенциальная энергия
Сумма двух последних величин представляет собой полную энергию системы
^ = -2"- (13-4.7)
При е = 1 и т* = т эти уравнения относятся к атому водорода, для которого
энергия ионизации основного состояния Ш1 = = 13,6 эв, а радиус наименьшей
орбиты гх = 0,528 А. В случае германия, для которого е=16, а т^т1/^, из
(13.4.7) и (13.4.3) следует, что энергия ионизации основного состояния
донора приблизительно в 1000 раз меньше, а первый боровский радиус
приблизительно в 64 раза больше. Это означает, что 0,013 эв, гх = 34 А.
Тот факт, что рассчитанный боровский радиус много больше, чем межатомное
расстояние (2,4 А), согласуется с нашей моделью (водородоподобный атом в
однородном изотропном диэлектрике). Если бы оказалось иначе, возникли бы
серьезные сомнения относительно правомерности такой модели. Поскольку
энергия ионизации при обычных температурах много меньше kT, то при
нормальных условиях донорные уровни будут почти полностью ионизованы.
Таким образом, полученные величины удовлетворительно согласуются с
оценками энергии ионизации донора, полученными из измерений инфракрасного
поглощения и низкотемпературной проводимости.
Подобным же образом можно рассмотреть и акцепторные уровни.
13.5. Имеется особенность, связанная со статистикой занятия донорных
уровней в полупроводнике, которая требует, чтобы их функция распределения
несколько отличалась от обычного выражения Ферми- Дирака. Каждый уровень
основного состояния донора имеет двукратное спиновое вырождение. Если
