Задачи по физике твердого тела - Голдсмид Г. Дж.
Скачать (прямая ссылка):
имеют вид
5л
Поскольку для этих функций
то собственные значения попарно вырождены: fc2 . я2 /[2 . 9Я2 Й2 . 25л'
'2md*' 2Ы2 ' 2md* и т' Д'
При наличии малого возмущающего потенциала V искомое решение все еще
имеет вид функций Блоха. Разлагая его в ряд по исходным волновым
функциям, имеющим вид плоских волн, и ограничиваясь в разложении волнами,
которые являются вырожденными на границе зоны, получим
Подставляя функцию Y в волновое уравнение, умножая его либо на exp
(ijx;t/d), либо на exp (-inx/d) и интегрируя результирующее выражение,
получаем систему уравнений
где V' - коэффициент Фурье потенциала V, соответствующий вектору 2n/d
обратной решетки. Получаем следующие значения Ш и А:
Таким образом,
Настоящий метод применим для любого из вырожденных состояний на границе
зоны.
Гораздо проще воспользоваться соображениями симметрии, поскольку волновая
функция, представляющая собой линейную комбинацию двух плоских волн,
должна быть либо симметричной (четной), либо антисимметричной (нечетной)
при замене координат - х (инверсия). Эти соображения приводят нас к
требуемому результату.
12.4. В одномерной решетке с периодом d границы зон соответствуют
следующим значениям k\ k = ± n/d; ±2 n/d; ... Уравнение Вульфа - Брэгга
2d cos 6 = nh для одномерного случая
300
т. е.
запишется в виде: 2d = nk, а поскольку X = 2n/k, то k = nn/d (где п = ±
1; ±2; ...).
В трехмерном случае энергетические разрывы энергии соответствуют таким
значениям к, для которых
к* = (к + К")*.
Вектор Кп связан с миллеровскими индексами (/i/2/3) плоскостей кристалла
соотношением
К - - /
А п - d
Таким образом,
где
1=УЧ + П + П = \1\,
что сразу дает условие брэгговского отражения электронных волн.
12.5. Эта задача была впервые поставлена и решена Кронигом и Пенни. Когда
потенциал V равен нулю, решениями уравнения Шредингера являются плоские
волны ехр (iax), ехр (-iax), где
а = -^-У 2 тШ.
Волновая функция представляет собой линейную комбинацию этих решений:
Yx = At ехр (iax) + А2 ехр (- iax).
В области, где потенциал V имеет постоянную и отличную от нуля величину,
волновую функцию можно записать в виде
Y2 = ехр (Р*) + Bz ехр (- $х),
P = |^2m(V0-^)-
Эти функции будут собственными функциями уравнения при положительных
значениях Ш, так что величина а является вещественной; однако величина р
может быть как вещественной, так и мнимой.
Значения Ш определяются граничными условиями в начале координат, где
волновая функция и ее производная должны быть непрерывными, и,
разумеется, также требованием ограничиться классом решений типа
блоховских функций:
'Г 1 (0) = ?2 (0), Уг (-Ь) = ехр (- ikd) Ч\ (d-b),
Эти условия дают совместное уравнение для и k: для V0>%
cos (2nkd) = sh pfc sin [a (d - b)] + ch Pb cos [a (d
- &)]
301
и для V0 < % cos (2nkd) =
= ~2a|Vp~ Sin (i P i sin [(r) (d " W + C0S P I ^ C0S I(r) (d ~
Собственные значения, соответствующие потолку верхней зоны и дну второй
зоны, соответственно равны 2,32 и 4,31 эв.
12.6. Когда плоская волна ехр [/ (kx - ш^)] распространяется в
рассеивающей среде, ее фазовая скорость w/k, а групповая скорость dw/dk.
Волновая механика позволяет интерпретировать то же явление в терминах
локализованных частиц при условии, что такую частицу мы рассматриваем как
волновой пакет; локализация в пространстве достигается в предположении,
что волновой пакет представляет собой суперпозицию многих плоских волн, а
средняя скорость частицы идентична групповой скорости волн.
Для трехмерного случая приведенное выше соотношение для групповой
скорости запишется в более общем виде
vg = grad* ш.
Для плоской волны импульс определяется соотношением
- iH ехр [7 (kx - ш?)] = flk, а энергия Ш = fiw. Скорость волнового
пакета может быть записана в виде
v = gradp ? = ft-1 grad* S.
Если зонная структура кристалла известна полностью, т. е. известны все
значения Ш для каждого k, то, применяя предложенную выше формулу в случае
стационарного состояния, можно получить среднюю скорость.
Если электрон находится во внешнем электрическом поле Е, то
Е (ft-1 grad* Щ dt = d$ = grad* Ш ¦ dk,
Ййк г,
й = Е-
Этот результат означает, что реакция на действие внешней силы такова, как
будто электрон обладает импульсом hk. Для ускорения имеем
~ = ft-1 grad* Щ- = П1 grad* (Е ¦ grad* Щ.
Сравнивая этот результат с уравнением движения, известным в механике, мы
можем записать компоненты ускорения в виде
з
302
где компоненты тензора эффективных масс равны
1
д'-Ш
[т*)ц Л * dkidkj '
12.7. Рис. 12.7.1, а представляет собой картину изменения энергии в зоне
вдоль одного направления в Л-пространстве. Отсюда находим, что если число
валентных электронов на атом
6)
Рис. 12.7.1. Энергетические зоны и поверхности Ферми, иллюстрирующие
металлические (а), диэлектрические (б) и полупроводниковые (в) свойства
твердых тел.
является достаточным, чтобы заполнить состояния так, чтобы уровень Ферми
(пунктир) проходил, как в случаях I или 2, то вещество является металлом.
