Задачи по физике твердого тела - Голдсмид Г. Дж.
Скачать (прямая ссылка):
q1/. kB \4л
где us - скорость звука, Я -объем атома. Из этого результата, выражая
скорость звука через скорость Ферми vF следующим образом (см. задачу
11.10)):
/ Zm у/2 \ 15Л1 )
Vf,
для металла с валентностью Z и массой атома М получим
e = ^(Ay/33LV/V
*BQ /a \4л) \15М )
Следовательно, для одновалентного металла
А /зу/з 1 /2^\1/2
Подставляя результат (а), имеем е='№ '
ka j S2 /s \ М )
Поэтому отношение
е
(Д ёг/МО,1'')1'1
должно быть постоянным. Результаты подсчета даны в табл. 11.20.2.
(Погрешность, которая составляет около 10%, можно отнести за счет
точности измерений АШу.)
Таблица 11.20.2
Металл в, °к Ь8у, эв / \-1/а Металл в, °К ASy, эв Ь.ву
^-1/2
М J в V Af S3 2/3 J
Аи 165 0,94 34,2 А1 428 0,75 32,8
Ag 225 1,09 32,0 РЬ 94,5 0,53 32,7
Си 245 1,17 32,2 Pt 229 1,4 37,2
Mg 406 0,89 33,8 Ni 441 1,5 33,1
Если принять, что температура плавления Tf пропорциональна Аёу, то
получаем соотношение Линдемана [101]
/ Tf \т 0"const'\SS73-J •
12. Энергетическая зонная структура
I2.I. Уравнение Шредингера для этого случая имеет вид
^ + [ё-У(^)]У = 0, где = +
Это дифференциальное уравнение второго порядка имеет два независимых
решения и Если какая-либо функция ? (дг) является решением этого
уравнения, то функция Y^-l-d) также является его решением. В общем случае
(х + d) = Оц?! (х) + а12лУ2 (х),
'ftz(x + d) = (дг) + "22^2 (дг),
где а -константы, определяемые величинами Ш и V, входящими в это
уравнение.
Искомое решение Y, очевидно, является линейной комбинацией ^ и
? = AWi (х) + BW2 (х) = и (дг) ехр (ikx).
297
Таким образом,
ехр [ik (jr + d)] ¦ и (* + d) = (х-\- d) BW2 (*+ rf) =
= (Аап -(- Ва21) (л:) (Лсх12 -(- Ba^i) ^2 (¦*) =
= ехр (ikd) - ехр (ikx) - и (х) = ехр (ikd) - [ЛЧ^ (х) + 5?2 (л:)].
Приравнивая коэффициенты при Ч^ (*) и Ч^*), получаем систему уравнений
для нахождения А и В:
А [ап - ехр (ikd)] + Ба21 = О,
Аа12 + В [а22 - ехр (ikd)] = 0.
Для того чтобы эта система имела нетривиальные решення, детерминант,
составленный из коэффициентов при А и В, должен обращаться в нуль, т. е.
"и -ехр (ikd) Ooj
"и сс22-ехр (ikd)
= 0.
Это квадратное относительно ехр (ikd) уравнение, имеющее два корня,
которые соответствуют двум независимым решениям. Значения k, определяемые
этим квадратным уравнением, будут вещественными или комплексными в
зависимости от значений Совокупность решений с вещественными значениями k
соответствует функциям Блоха.
Отметим, что должны существовать и другие решения, и они полезны при
обсуждении таких состояний, как связанные состояния на свободной
поверхности твердого тела. Однако они не соответствуют стационарным
состояниям электронов в решетке. Значения k определены с точностью до
слагаемого ± 2nn/d, где п- целое число. В случае трехмерной решетки
волновой вектор электрона k определен с точностью до /(", где Кп
удовлетворяет условию
Ri - Кп = 2кр,
р - целое число, - векторы решетки. Таким образом, мы должны рассмотреть
только значения k, лежащие внутри или на поверхности ячейки (в общем
случае многогранника), образованной плоскостями, которые делят пополам
линии, соединяющие узел решетки с его "ближайшими соседями", соседями
"ближайших соседей" и т. д. Эта ячейка называется первой зоной Брил-
люэна.
Для гранецентрированной кубической решетки обратная решетка -
объемноцентрированный куб, и для этой структуры зона Бриллюэна
представляет собой ячейку Вигнера - Зейтца.
Если k ограничено значениями внутри или на поверхности зоны, общее
выражение запишется в виде k + K", где Кп - произвольный вектор обратной
решетки.
298
12.2. В приближении свободных электронов энергетические состояния
задаются соотношением
где
У ______2л
"V ----- ft ХУ
2/п
У 2я у 2л
Ку - -Г- tlfj) Kz - -j- tlzу
L - длина ребра кристалла, имеющего форму куба; пх, пу, пг целые числа,
т. е. значения k являются квазииепрерывными.
Таким образом, разрешенные состояния можно представить системой точек в
ft-пространстве, с (L/2л)3 точек на единицу объема.
Поверхность Ферми представляет собой сферу радиуса kF, содержащую NZ
электронов. Эти электроны попарно вырождены, так что
А3.
8яй*
nkF = NZ,
отсюда
у/з __
= (3 nZn2)^,
?
Л
7
61
Рис, 12.2.1. Схема поверхностей Ферми для двумерной квадратной решетки с
одним, двумя, тремя и четырьмя электронами на атом (а) и для двумерной
решетки с четырьмя электронами на атом в первой зоне Бриллюэна (б).
где п - число электронов в единице объема.
Результаты графического решения задачи для плоских зон Бриллюэна
приведены на рис. 12.2.1.
12.3. Границами первой зоны Бриллюэна для одномерной решетки с периодом d
являются точки, находящиеся на расстоянии ±яId от начала координат;
границы последующих зон находятся на расстояниях, кратных ±n/d. Таким
образом, значения волнового вектора в произвольной точке задаются
выражением
, п . 2п
~d^~Tn'
где п = 0; ±1; ±2; ±3 и т. д. Если брать пары значений: (0, -1); (1, -2);
(2, -3) и т. п., то волновые функции, соответствующие этим значениям k,
