Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Голдсмид Г. Дж. -> "Задачи по физике твердого тела " -> 107

Задачи по физике твердого тела - Голдсмид Г. Дж.

Голдсмид Г. Дж. Задачи по физике твердого тела — Наука, 1976. — 432 c.
Скачать (прямая ссылка): zadachipofiziketverdogotela1976.pdf
Предыдущая << 1 .. 101 102 103 104 105 106 < 107 > 108 109 110 111 112 113 .. 147 >> Следующая

один из двух имеющихся уровней основного состояния уже занят, то другой
не может быть занят, так как необходим только один электрон, чтобы
удовлетворить требованиям валентности донор-ного атома.
Рассмотрим систему, в которой уровни энергии Ш2, ..., Шп
со степенями вырождения g2, g3, •••, g" именно таковы. Для i-ro уровня
энергии имеется g{ квантовых состояний и, скажем, Ni электронов, которые
могут занимать эти состояния. Число способов размещения одного из этих
электронов по имеющимся состояниям равно, конечно, g*. Число способов
размещения
11 Задачи по физике
321
второго электрона, однако, есть gt - 2, так как присутствие
первого электрона исключает присутствие другого из-за того, что
состояние с противоположным спином занято. Соответственно имеется g1 - 4
состояний, где может размещаться третий электрон, и так далее.
Число способов размещения Ni неразличимых между собой электронов по g1
состояниям такого вида будет
8t (81 - 2) (ft - 4)... (ft - 2ЛГ, + 2) 2V,g< (Vagi)! /|ЧЧП
A/.l i/.g. -л/. ' 110.0.
2 1 N j! (Vagi - N1)!
Множитель Л^! появляется в знаменателе именно из-за неразличимости
индивидуальных электронов; размещения, различающиеся только
перестановками электронов между собой, нельзя рассматривать как
различные.
Полное число способов размещения электронов по уровням энергии такое, что
электронов занимают уровень Шх, Лг2 занимают &г, Nt занимают и т. д., и
оно равно произведению множителей вида (13.5.1), относящихся к отдельным
уровням. Обозначая это число через Qd(Nlt Nt, Nn), можно написать
№• .....................*¦><13-5-2>
I = 1
Теперь необходимо узнать, при каких значениях Л^, Nt...Nn
величина Q будет максимальной и в то же время будет удовлетворять
условиям постоянства полного числа частиц в системе и постоянства их
полной энергии (при фиксированной температуре).
Ответ на этот вопрос можно получить, используя метод неопределенных
множителей Лагранжа [27]. Используя эту методику, необходимо' составить
форму из Qd (но лучше lnQd) с добавлением упомянутых дополнительных
условий, вводя неопределенные множители а и р, и искать условный
экстремум этой формы относительно Nt. Это приводит к системе уравнений
^+*т,+"м-,=° </=1.2..................*>. <13-5-3"
где
Ф(ЛГЬ N2......Ag = ?W, = W = const, (13.5.4)
i
9(Nlt N2......Nn) = %iNi = V = const. (13.5.5)
i
Решение уравнений (13.5.3) дает максимальное значение величины lnQd, а не
Qd, но ясно, что ряд величин Nx, N2, Nn,
приводящий к максимальной величине lnQd, будет давать также и
максимальную величину Qd. Уравнения (13.5.4) и (13.5.5) выражают тот
факт, что полное число частиц в системе и их полная энергия должны быть
постоянными. Другими словами, могут
322
быть допущены только наборы значений Nlt ..., Nn, которые оставляют эти
две величины постоянными. Но, применяя к величине (13.5.2)
приближенную формулу
In (х!) \пх - х, (13.5.6)
выполняющуюся тем лучше, чем больше х, можно записать
In Qd = 2 Nt In 2 + ? In (V.ft) - Ц Nt In N, -t i i
- ? (Viff! - N,) In (V, gt - Nt). (13.5.7)
i
Вспоминая, что величины Nlt N2, ..., Na (за исключением ограничений,
упомянутых выше) независимы, получаем
д
-тг***' ит¦д•,
что приводит к следующему:
^ = l"J-+l"(f-;V()_ln(ft-2), (13.5.8)
яг,"1' тгв1- ,13-5-9)
Система уравнений (13.5.3) сводится в этом случае к набору независимых
уравнений вида
ln(^-2) = -а-(13.5.10)
Каждое уравнение (13.5.10) можно решить относительно Nj/gf. Отношение
Nj/gj, имеющее одинаковый вид для любого /, является по определению
функцией распределения. Итак, получим
(13.5.П)
В общем случае неопределенную константу а можно идентифицировать с
энергией Ферми SF, а именно
а = ШР/кТ, (13.5.12)
а величине р нужно приписать величину - \/kT [27]. Сделав эти подстановки
для донора, получим
" 1 +1/. ехр [(Ш-ШР)!кТ] (13.5.13)
В случае донорных уровней в полупроводнике gj = 2Nd, где Nd-~ число
донорных атомов, вызванных двукратным спиновым вырождением, и формула
(13.5.11) дает для числа электронов nd, занимающих донорные места,
П''=1+1/2ехр[(&(-?/г)/А7']' (13.5.14)
где ^ - энергия электрона на донорном уровне.
11* 323
В полупроводниковом кристалле, содержащем донорные примеси, действуют
тогда две функции распределения, а именно: обычное распределение Ферми
(13.2.3) для электронов на уровнях зоны проводимости и валентной зоны, и
функция (13.5.13) - для электронов на донорных уровнях. Полную
концентрацию электронов N (как на донорных уровнях, так и в зоне
проводимости) можно считать просто суммой п0 и nd\
СО
N = n0 + nd=\f0 (Ш)Вс (S) d% + -----------% (13.5.15)
j? 1+У2ехр [(Ша - Шр)!кТ\
При этом величина %F, фигурирующая в обеих функциях распределения /о (*)
и /о ((r)). будет, очевидно, одна и та же, и ее можно найти, решая
уравнение (13.5.15) относительно
13.6. В кристалле, который является электрически нейтральным, полная
сумма зарядов всех носителей и примесных ионов должна быть равна нулю.
Если на единицу объема приходится Nd донорных атомов, из которых nd не
Предыдущая << 1 .. 101 102 103 104 105 106 < 107 > 108 109 110 111 112 113 .. 147 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed