Задачи по физике твердого тела - Голдсмид Г. Дж.
Скачать (прямая ссылка):
энергетические зоны -параболы, эффективная масса изотропна: т* = -
1/а2Р*..
12.14. Пронумеруем атомы в цепочке 0, 1, N. Обозначим атомные
волновые функции (атомные орбитали) для i-ro атома через ф (г, /) и
представим волновую функцию для цепочки в виде линейной комбинации ф (г,
/):
Ч(г) = 21С№(г, 0.
i
Собственные значения получаются из одноэлектронного уравнения Шредингера
ЛГЧ = ШЧ.
Подставляя и пренебрегая перекрытием между функциями ф, получим следующую
систему линейных уравнений:
[Ш-Жтт\ Ст = 2Г Сп^'тп, где -тп = \ ф* {г, т) Жф (г, п) dr.
П
Положим тт = а (тф 0), = т = pSm, т± lf
т. е. пренебрежем матричными элементами <3%, за исключением матричных
элементов между ближайшими соседями. Матричный элемент при т = 0
отличается от остальных, поскольку он соответствует концу атомной
цепочки. Теперь уравнения для Ш могут быть записаны в виде
(8 - a)Cm = P [Cm+1 + Cm_j] для тфО,
(8-а')С0 = рС1.
Предположим, что на другом конце цепочки (m = N) CjV = 0. Если N велико,
то это не оказывает влияния на свойства поверхностных состояний. Тогда
Cm = sin[(N - m)0], $ = a + 2pcos0.
Граничные условия удовлетворяются в начале координат, если 6-один из N
корней уравнения
) + cos 0 -f sin 0 ctg (NO) = 0.
Пусть &' = (& - a)/2p, тогда для решений, соответствующих
нелокализованным (т. е. зонным) состояниям, -Существует по крайней мере N
- 1 таких корней, и оставшийся корень 0 является комплексным при условии,
что
а - а' " , 1
- >>+*/•
По мере удаления от свободного конца цепочки эта волновая функция,
соответствующая поверхностному состоянию, быстро затухает. Величина 0
имеет вид tg, или л -f где g - веществен-
310
ная и положительная величина. Для 0 = величина <?' положительна и
? = а +20 ch?,
в то время как для 0 = л -f /§ величина Ш' отрицательна и
# = а -2р ch?.
Таким образом, можно отделить состояния электрона, находившегося у
верхнего края зоны и отраженного от "поверхности", и находившегося у дна
зоны и притянутого к "поверхности".
12.15. Обозначим примесный атом через Я. В этом случае
рассматриваемые матричные элементы имеют вид
оо = - е5Гт, т ± 1 = р,
и, кроме того,
ЛГа = аГ, ^Г0, = ^ГЛ0 = р\
Примесный атом взаимодействует только с атомами вблизи "поверхности"
кристалла. Новые граничные условия на поверхности запишутся следующим
образом:
("-oOCo-pCi + P'C*.
(&-а") С,= Р'С0.
Как и прежде, предполагаем С^ = 0 и вводим обозначения: а - а' , а -
а" В' да, ё - а
2 = -р-- 2=-р-' 11 = У' Ш =~2Р-
Для коэффициентов С имеем решения
Ст - sin [(N -т) 0] (т = 0, 1, ..., N),
р ___ г) sin Л'0
л - г' + 2 cos 0
Энергетические уровни задаются соотношением
Ш' = cosQ,
где 0 -значения N-\-1 корней уравнения
(г -f cos 0 -f sin 0 ¦ ctg NQ) (г' -f 2 cos 0) = ria.
Вещественными являются по крайней мере N-\ решений, а два могут быть либо
вещественными, либо комплексными в зависимости от величины и знака
матричных элементов оператора <2% .
Когда волновые функции затухают, они соответствуют одному состоянию,
локализованному около примесного атома, и другому, локализованному вблизи
поверхности. В этой ситуации возможно формирование локализованных
ковалентных поверхностных связей между примесным атомом и поверхностью
кристалла.
311
12.16. Поскольку потенциал вблизи минимума является параболическим,
атомные волновые функции можно аппроксимировать следующим образом:
Ч* (*) = ехр (- ах2).
Интегралы, фигурирующие в расчете, имеют вид
СО
<S (-пл) = J ехр[-а (л: + пл)2]ехр (-ax2)dx =
= (?)1,*ехр(-тап1п>)-
со
Н{-пл) = ^ ехр[-а (л: + ял)2] [(2а - 4а2*2 -
- СО
- 3 - 2 cos 2х) ехр (- ал:2)] dx =
= ехр^ - у ап2л2j |^najI/2 (1 -ап2л2) -
- (?)1/2 [т + ехр(- i)cos ("").]}-
Пренебрегая при суммировании всеми членами, кроме двух, соответствующих
двум соседним ячейкам, получаем
Ш = а- 3 - 2ехр ^ - -j- |2cosn?) ехр ?а - л2а2 - 3 +
+ 2ехр -^)]}[l+2cos(nA)exp(-^-)]-1.
Условие минимума величины Ш как функции а, т. е. дШ/да = О, дает
уравнение для cos лк для каждого значения а. Значения Ш, а и k,
полученные таким способом, приведены в табл. 12.16.1.
Таблица 12.16.1
а 0,674 0,680 0,700 0,750 0,800 0,900 0,910
k 0,0 0,37 0,502 0,623 0,703 0,925 1,0
ш -3,463 -3,363 -3,277 -3,163 -3,070 -2,884
-2,870
Заметим, что на границе зоны результаты этого расчета получаются менее
точными, чем полученные в задаче 12.12. Это объясняется тем, что волновая
функция состояния на границе зоны лучше описывается комбинацией волновой
функции основного состояния и атомных функций возмущенных состояний, а в
нашем разложении последние опущены.
312
= 0.
12.17. Вдоль направления [100] расположены две зоны: однократно
вырожденная с энергией состояний Ш = Aki и двукратно вырожденная с ii -
Bkl для каждого уровня.
Вдоль направления [111] снова имеются: зона однократного вырождения Ш =
(А 2В - 2С) k% и зона двукратного вырождения Ш= (A-\-2B-\-2C]ki для
каждого уровня.
Вдоль неособых направлений (т. е. направлений, не обладающих симметрией)
существуют три зоны. При k - Q все уровни трехкратно вырождены. На
