Задачи по физике твердого тела - Голдсмид Г. Дж.
Скачать (прямая ссылка):
При Т = 0 она равна
5
Если воспользоваться выражением для ? при конечной температуре Т:
то полная энергия единицы объема
U = пМ,
где л -число электронов в единице объема. Таким образом,
,п . дИ & , кТ
{Cv)fd- дт - 2 nkJ^'
Для одного моля газа nk = R,
(Cv)fd = ~R-
кТ
2 ШР (0) '
Классический результат (CV)KJI = 3/.2R, так что
(Cv)fd ___ ЬТ
" (СЛкЛ 3 ^(°)'
При 7 = 300°Ки ШР = 7 эв
4&^^1,2 10-2.
11.5. Электрон, движущийся к поверхности, должен преодолеть потенциальный
барьер высотой
Ш' = Шр + ф,
Ш
причем Ш' отсчитывается от нижнего края зоны. Если поверхность
перпендикулярна к оси х, то условие выхода электрона
ё>^+ф-
Полное число электронов с ^-компонентой импульса в пределах от рх до px +
dpx, проходящих через единичную площадку поверхности за единицу времени,
равно
1 + ехр Vx dPx dPy dPz _
_ A3 1+ехр \{Ш-Шр)1кЦ ^ d?y dPz'
Искомый ток равен
-j- CO -j- CO -j- СО
1 = ~hT X _L j l+exp[(S-Sf)/W-] d% dPy dP' =
2ekT +,-°° I ф+ (p* + p|)/2m \
----Й5- J J In ^1 +exp------ ---Jdpydpz.
- CO - CO
Обычно потенциал ф порядка нескольких электрон-вольт, а величина kT
составляет малые доли электрон-вольта. Разлагая логарифм в ряд и сохраняя
только первый член, получаем формулу Ричардсона - Дешмана:
= 4пт Ш- ехр ( - = А Г ехр (- .
Практически некая доля г электронов отражается от поверхности, поэтому
i = (l-r)ATi ехр(-
где А = Anmek2/h3 = 120 а-см 2 • град 2. При 7 = 2273°К имеем
1 = 0,13 а.
11.6. Пусть поверхность металла перпендикулярна к оси г. Электрическое
поле волны на поверхности имеет вид Еха ехр (Ш) и уравнения Максвелла
дают
Если выполняется закон Ома (т. е. jx = aEx), то
где
Декремент затухания равен ]/ 2гаоо/'с и глубина скин-слоя 6 = = ciY 2шоа.
Для образца чистого металла с проводимостью в 1 ед. СГСМ при 4°К в
высокочастотном поле 3-1010 гц величина б порядка 10_6 см. Типичная
средняя длина свободного пробега между столкновениями примерно равна этой
величине. Значит, электрическое поле заметно изменяется на расстоянии,
которое электрон проходит между столкновениями, и, следовательно,
пользоваться законом Ома, как это сделано выше, уже нельзя - необходима
более точная трактовка.
11.7. Сила Лоренца, действующая на электрон, равна (e/c)vxH. Так как
скорость v нормальна к энергетической поверхности в й-пространстве, то
сила будет тангенциальной, так что энергия останется неизменной, Величина
Нк меняется так, что вектор й описывает в й-пространстве орбиту,
определяемую пересечением поверхности постоянной энергии с плоскостью,
перпендикулярной к Н. Если взять две орбиты, соответствующие энергиям % и
% + dM, то расстояние между ними в любой точке будет равно dS/' grad* &
|, или dS/Hv. Если dl - приращение длины орбиты, то площадь кольца,
ограниченного этими орбитами, равна
где интеграл берется по орбите,
Сила, действующая на электрон, по величине равна (е/с) vH, а время, за
которое электрон проходит элемент dl, равно chdl/evH. Поэтому период
движения по орбите равен
для свободных электронов сое == еН/тс. Поэтому эффективную циклотронную
массу для данной орбиты можно определить отсюда как
Значит,
dA = _1_ с d/ d-Ш h 2 v
а циклотронная частота
284
11.8. Средняя энергия, приходящаяся на один электрон, выражается через
энергию Ферми следующим образом (см. зада-
*=¦§.*, (О> = |?0
где N - полное число электронов в объеме V.
Полная энергия равна
л'*=4?<з",)!'3|?-
отсюда давление
р д (ыё) (Зл")2/3 й* / N \ 5/3
дУ ~~ 5 m\v)'
Для электронного газа с плотностью, соответствующей меди, оно равно 3,8-
1011 дин-см 2, или около 4-105 атм.
11.9. Пусть однородный электронный газ плотности р претерпевает
сферически симметричное смещение ?(/¦) на поверхности сферы радиуса г.
Если смещение является медленно меняющейся функцией г, то сферу покидают
приблизительно 4лрг%(г) электронов. Поэтому на сфере остается избыточный
положительный заряд 4перг% (г) и электрон на поверхности подвергается
действию возвращающей силы 4яе2р?(л).
Запишем уравнение движения:
т-^-4- 4ле2р? = 0.
Это уравнение простого гармонического колебания. Оно описывает продольные
колебания плотности (плазменные колебания) в электронном газе.
Циклическая частота этих колебаний равна
Для такого металла, как медь (р = 0,85-1023 см-3), значение ар равно 1,6
• 1018 рад ¦ сект1 = 2,5 • 10i5 гц.
По аналогии с квантовомеханической задачей о простом гармоническом
осцилляторе из квантовомеханического рассмотрения плазменных колебаний
следует, что энергия колебаний квантуется согласно условию
= (л + у)/Ц"
где Шп - значение энергии для п-й моды колебаний.
11.10. Равновесное значение г0 найдется из уравнения
flg _ 9 е* 3/9 \2/3 й2_п дг ~ 10 /•* Ьтг* \4я) '
Отсюда
2П2 ( 9 \ 2/3 .
Г° - Зте2 [ 4я) ,3
285
Для щелочных металлов экспериментальные значения г0 составляют около 2 А.
Модуль всестороннего сжатия
т/ др " а* Ш _ " ( _! 1 а>?\
° - -у dV - V dV* ~ \dV'j dr2 _\12ял dr* )r = r,' Скорость звука
определяется равенством , В м ! 1 \2 , 9 -.2/3
