Задачи по физике твердого тела - Голдсмид Г. Дж.
Скачать (прямая ссылка):
10.3.1, а.
Энергия
Рис. 10.3.1. Энергетические уровни для В\г (а) и В X г (б).
Чтобы схематически изобразить энергетические уровни в случае, показанном
на рис. 10.3.1, б, отметим, что:
при y<S^D: Ш ^D, -D±y;
при y = D: ? = -\D, ±K3D;
при r/>D: ?""±yi/-yD, ±{i/ + |d.
[.Примечание. Для случая, когда направление поля В составляет с осью г
угол arccos (1/]/3), детерминант тоже распадается на множители, но
вычисления в этом случае громоздки.]
Чтобы описать случай осевой симметрии, требуется иметь точные значения
двух компонент g-фактора. Практически, однако, значения gj[ и gL часто
весьма близки к 2, и в этом случае вопрос можно рассматривать в
упрощенном виде.
10.4. Вероятность индуцированного перехода в различных вариантах
рассматривается в большинстве книг по квантовой
267
механике. Наиболее удобный для нашего случая вариант приводится в книге
Пейка [19]:
1Рв* = 7*ЯЖ*1^|а>1*ЯМ. (Ю.4.1)
Чтобы в общем случае рассчитать населенности и п3 уровней
1 и 3, запишем уравнения, описывающие скорость изменения населенности
под действием излучения с учетом релаксации (см., например, [19]).
По определению
~df - ~~ ni (^13+ Wu) + п3 (w31 + W^si)- (10.4.2)
Кроме того,
(ni + Пз) т у п, (10.4.3)
где п - общее число ионов Cr3v. (Заметим, что мы пренебрегаем влиянием
уровней 2 и 4, это делается для упрощения расчета; можно считать также,
что h\13/kT 1, поскольку это тоже
почти не влияет на точность расчета.) Теперь
W13 = W3l = W, (10.4.4)
w3i = 1013ехр jj?^w13 (l +^). (10.4.5)
Подставляя выражения (10.4.4) и (10.4.5) в уравнение (10.4.2) и решая
уравнения (10.4.2) и (10.4.3) для стационарного состояния (dn1/dt = 0),
находим, что
= (10-4-6) В условиях теплового равновесия п1/п3 = ехр (hv13/kT), откуда
получаем
("i-n3)paBH = -J^. (10.4.7)
Нам нужно получить величину (Пх - п3), составляющую 10% от равновесного
значения. Из (10.4.6) и (10.4.7) непосредственно следует, что это условие
удовлетворяется при w13!(W -\-w^ = 1/10, т. е.
W = 9wls. (10.4.8)
а) Мощность, поглощаемая в полости резонатора микроволнового
излучения, определяется высокочастотным магнитным полем В и величина
которого входит в уравнение (10.4.1).
Определить точное соотношение между Р и Вх практически сложно, поскольку
микроволновое поле неоднородно и установить состояние его поляризации
далеко не просто. Мы не будем искать точное выражение, а просто сделаем
оценку, которая по логике
268
вещей должна отличаться от точного значения множителем, близким к
единице. Соответственно положим
(10.4.9)
Из соотношения (10.4.1) получаем
в; = 5^. (10.4.10)
где а - матричный элемент. При расчете а2 применяются те же самые
правила, которые справедливы для действий с оператором углового момента
Jx = 1/2 (J+ + J-). В результате получим
а2 = 0,20. (10.4.11)
Следует обратить внимание на запись выражения для g(v).
При низких уровнях мощности микроволнового излучения это не представляет
трудности, но мы имеем дело с большими мощностями, такими, что y2B\TiT2 ^
1. Чтобы показать, что функция g(v) обладает свойством ^g(v)dv = 1, надо
записать g(v) в виде
,М 2Т,(1+уЩТ1Т2)^
ё У > 1 +ч*В\Т1Т2 + Апт (v" -vF
Практически v = v0, так что
g (v) = 2Л (1 - у2В)Т,Тг) - •/.. (Ю.4.12)
Подставляя (10.4.8), (10.4.11) и (10.4.12) в выражение (J0.4.10),
а затем используя числовые значения, находим
8,5- 10~6 тл
(заметим, что Ti^> 1/2w13, Т2 = 2/Аа> и y2B2T1Ti^ 1).
Подставив значение Вх в (10.4.9), получим Р = 18 мет. б) Выражение для
мощности микроволнового излучения, активно поглощаемой ионами Сг, можно
записать в виде
P"=W ("j - ns) hv1B.
Величина "х - л" получена выше (см. (10.4.6)), так что
р = nJhv13)2w13W
Используя (10.4.9) и подставляя числовые значения, мы, наконец, получим,
что Я, = 3,4 мет.
Описанный путь решения, разумеется, крайне упрощен, но в противном случае
пришлось бы преодолеть значительные трудности вычислительного характера.
Подробное рассмотрение приведено в [75].
10.5. Ширина линии может быть определена несколькими эквивалентными
способами. В предложенном варианте все величины
269
мы будем выражать через магнитное поле; полную ширину линии обозначим
через ДВ.
а) Дипольное взаимодействие можно легко оценить, вычисляя величину
локального магнитного поля, создаваемого данным диполем на другом
(соседнем) диполе.
Поскольку соседние диполи могутбыть ориентированы по-разному (например, в
случае, когда J = 1/г, - параллельно или антипараллельно), существует
разброс значений величины локального магнитного поля. Грубая оценка дает
АВъ2ВЛ0К,
где
Влок = ^уП[Л/+1)Г'а-*-
здесь а -расстояние до ближайшего соседнего диполя. Подставляя
соответствующие числовые данные, находим АВ "а 2,2 ¦ 10 4 тл (2,2 гс).
б) Формула Ван-Флека для второго момента в случае одинаковых спинов
может быть записана в виде
ш' = Т (Ё )2 У44 (¦/ + 1)2 (1 " 3 cosZ в*)2
k
где гк - значение радиуса-вектора, соединяющего ядро (или электрон) с А-м
соседом; 8* - угол между приложенным полем и вектором гк.
