Задачи по физике твердого тела - Голдсмид Г. Дж.
Скачать (прямая ссылка):
быстро электрон проходит свой путь; другими словами, это означает, что
длина свободного пробега, грубо говоря, не зависит от скорости.
13.10. В веществе, в котором главным механизмом рассеяния электронов
является рассеяние на акустических фононах, средняя длина свободного
пробега не зависит от скорости (а следовательно, от энергии). По этой
причине время релаксации как функцию скорости можно выразить следующим
образом:
т (v) = K/v, (13.10.1)
здесь Я -средняя длина свободного пробега, не зависящая от скорости.
Выражение (13.8.11) для полупроводника (статистика Максвелла - Больцмана)
можно записать в следующей форме:
_ " <o_*t (о)) _ eX (v) _ _2 Л ,/• 2 /J3 ю 2)
т* {v2> {а*) 3 еЛ V пт*кТш
Здесь мы воспользовались тем, что, согласно (13.9.12), (у) = е =
- YSkTjnmZ, а из (13.8.8) (иа) = 3kTjm%. В соответствии с (13.8.14)
для металла (статистика Ферми-Дирака)
(13.10.3)
,<*,)_?=* j/*. "3.10.4)
где Vf - скорость, соответствующая ^(откуда = %f). Фор-
мулу (13.10.3) можно переписать в виде
(13.10.5)
V 2mn$F
Ясно, однако, что если рассеяние на акустических фононах является
доминирующим, к должна быть обратно пропорциональна концентрации
рассеивающих частиц пр. Но поскольку, согласно
(13.9.6), пр прямо пропорциональна температуре Т, то К должна быть
обратно пропорциональна Т. Поэтому из формулы (13.10.2) для
полупроводника следует, что а для металла из
332
(13.10.5) - что ц"~Г-1 (мы пренебрегаем очень слабой зависимостью ^ от
температуры).
Было установлено, что такой ход изменения электропроводности с
температурой согласуется с экспериментом для многих металлов. В примесном
германии /i-типа экспериментально было найдено, что [х"~Г-1-66; это
отлично совпадает с предсказанием, сделанным выше; для германия p-типа
найдено, что \ip~T~2-3. Для л-Si [х"~Г-2-5, для p-Si [хр~Г-2-3.
Расхождения с тео-
рией в случае п-Ge и n-Si связаны с неучтенным вкладом оптических фононов
и влиянием междолинного рассеяния [89, 91].
13.11. Для образца, заряды носителей которого положительны и на
который действуют постоянное электрическое поле *) Е - = ixEx-\-iyEy и
магнитное поле В0 = 1гВ0, как показано на рис. 13.11.1, силу, действующую
на такой носитель, можно записать в виде
F=m*pd? = eE + ^-vxB0. (13.11.1)
Это уравнение движения можно записать в составляющих по
координатным осям
Ж = + (13Л1-2)
(a0vx, (13.11.3)
dvy еЕу dt ~ т* dv
где
= 0, (13.11.4)
со0 = $. (13.П.5)
Уравнение (13.11.4) выражает тот простой факт, что приложенные
поля не создают г-компоненты ускорений (это уравнение нам
в дальнейшем не понадобится).
Уравнения (13.11.2) и (13.11.3) решаются дифференцированием каждого из
них по времени и подстановкой требуемой величины dvx/dt или dvy/dt из
другого уравнения этой системы. Результирующие уравнения выглядят
следующим образом:
d*vx ШоеЕи
+ фх = -^-ш (13.11.6)
, 2 а<*Ех /1 Q 11 7\
-^- + "5^ =---------^5-, (13.11.7)
*) Записывая выражение для электрического поля, необходимо предусмотреть
вероятность того, что ^-компонента может появляться всякий раз, когда
носители заряда, которые отклоняются вверх или вниз силой Лоренца,
скапливаются у верхнего или нижнего края кристалла.
333
решения которых, как легко показать, имеют вид
еЕ
vx(t) = A cosco"/ + Bsinco<><+ (13.11.8)
Vy (t) = С cos co0/ + D sin (Oot - , (13.11.9)
где А, В, С и D - произвольные постоянные. Дифференцируя эти решения и
подставляя их обратно в уравнения (13.11.2) и (13.11.3), получаем
очевидный результат, что уравнения удовлетворяются для всех значений t
только при С = В иО= - А. Используя этот факт и выбирая в качестве
граничных условий начальные скорости vx = v0x, vy = v0y (при < = 0),
приводим выражения (13.11.8) и (13.11.9) к следующему виду:
е^и \ t ! е^х \ . , чЕу
Vx (0 = ^ j COS Oot + [Voy + -j sin а>0/ + - (13.11.10)
"j,(0 = f"o" + ^coscD0/-fo0x-^sinci)l,/-^L. (13.11.11)
"0"'p/ V "o mpj "omp'
Эти компоненты скорости необходимо усреднить по экспоненциальному
распределению средних времен свободного пробега [27]. Средние по времени
значения (vx)t и (vy)t (для дырок) записываются в следующем виде:
ОО
J vx. у (0 ехр (- t/xp) dt
(vX,y)<=°------------------------, (13.11.12)
ехр (- t/Xp) di
I
где xp (v) - время релаксации для дырок. При этом для упрощения отметим,
что поскольку (vx)t и (vy)t должны затем еще раз усредняться по
максвелловскому распределению начальных скоростей, а эти средние (Со* и
v0y) равны нулю, то члены, содержащие эти величины в выражениях
(13.11.10) и (13.11.11), можно отбросить с самого начала.
После несложных преобразований, включающих нахождение определенных
интегралов, чьи значения легко находятся по таблицам, получим
! \ в / ХР С I "0ТР J7 \
(tm) = ^1+со'т" Т+ЩСУ) -
е г/ \ "пТД Т
= ^-Т+%)?'+Т+%*.]. (И.11.13)
е ' "о Р , ТР
Теперь эти величины можно усреднить по распределению началь-334
решения которых, как легко показать, имеют вид
vx(t) = A cosay + BsinoV + (13.11.8)
yJ((/) = Ccosa)0/ + Dsina)0/ - (13.11.9)
