Задачи по физике твердого тела - Голдсмид Г. Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Fy = (evxB0 cos 6) /с,
Fz = - (evxB0 sin 6) /с.
Выполняя матричное перемножение, указанное в уравнении
(13.14.5), и подставляя приведенные выше выражения для компонент силы,
получаем уравнения для трех компонент ускорения в следующей форме:
fin * pF
= ~ еШ + "i ipz sin 6 - Vy cos 0),
ч
dv ~dt
dv, n
-jf = - co||i"*sm0,
-|! = co1d,cos0, (13.14.7)
причем
Предположим, что уравнения имеют гармонические решения вида х = Ховш, у =
у<?ш, г = г$ш. Подставим их в уравнения
(13.14.7) и будем искать амплитуды х", у0 и г0. В результате получим
еЕ0 1
х0 =
т* со2 -со^ cos2 6 - Ш(| со^ sin2 6 > еЕ0 io^cose
т*± со (со2 - cos3 6 - (0ц оо± sin2 6)' (13.14.9)
= efio________________|Чо,'1 sin 6_
0 т* (о (со2- cos2 6 - C0|j<0± sin2Q)
Амплитуды становятся очень большими, когда частота приближается к
резонансной частоте, которая определяется соотношением
ш= (ш8х cos26-J-ojjjtoj. sin20)I/2. (13.14.10)
Эта формула является основной для объяснения всех данных по циклотронному
резонансу для веществ с "многодолинными" изо-энергетическими
поверхностями.
а) Предположим, что В0 совпадает с направлением [100], например
направлено вдоль оси kz на рис. 13.14.1. Для двух эллипсоидов, оси
которых ориентированы вдоль этого направления, угол 0 между осью
эллипсоида и полем В0 равен нулю; тогда, согласно (13.14.10),
ш = ш1 = ш1 (2 эллипсоида). (13.14.11)
Для двух других эллипсоидов В0 перпендикулярно осям эллип-
соидов; для этих поверхностей угол 0 = 90° и выражение (13.14.10)
дает ______
ш = соя = ]/ (4 эллипсоида). (13.14.12)
341
При этих условиях будут наблюдаться два резонанса, и резонанс при ш =
]/(|)ц(|)1 будет в два раза более интенсивным, потому что в процессах,
которые его вызывают, участвует в два раза больше электронов.
б) Если поле В0 приложено вдоль направления [110], то для двух
эллипсоидов 0 = 90°, а для остальных четырех 0 = 45° (или 135°). Для
первых двух эллипсоидов выражение (13.14.10) дает
Следовательно, второй резонанс в два раза сильнее первого,
в) Если поле действует вдоль направления [111], то углы между полем и
осями всех эллипсоидов такие, что sin20 = 2/3 и cos20 = V3. что дает
единственную резонансную частоту
13.15. В германии изоэнергетическими поверхностями в зоне
проводимости являются четыре эллипсоида вращения, главные оси которых
направлены вдоль четырех эквивалентных направлений: [111], [111], [III] и
[III]*). Рассмотрим первый эллипсоид с осью вдоль [111]. Если система
осей k'x, k'y, kz выбрана в импульсном пространстве так, что ось к'г
лежит вдоль (111), то уравнение эллипсоида в этой системе осей запишется
в виде
Если это уравнение записать в системе координат, оси которой расположены
вдоль кубических направлений (100), то элементы тензора обратных
эффективных масс получаются из (13.14.3), а отсюда сразу можно получить
тензор проводимости.
Рассмотрим две тройки единичных векторов: (ix, iy, iz), определяющую
координатную систему (100), и (i'x, iy, iz), определяющую координатную
систему <111), показанные на рис. 13.15.1. Вектор i'z есть единичный
вектор в направлении [111], и поэтому можно записать
*) В действительности имеется восемь полуэллипсоидов вдоль восьми
направлений (111), которые заканчиваются плоскими поверхностями -
границами зоны Бриллюэна. Однако для всех практических целей они могут
считаться составленными из четырех полных эллипсоидов, ориентированных в
четырех направлениях, указанных выше.
ш = ш1 = У(2 эллипсоида), (13.14.13)
а для остальных четырех
(4 эллипсоида). (13.14.14)
(13.14.15)
(13.15.1)
(13.15.2)
342
Найдем два взаимно перпендикулярных вектора в плоскости, перпендикулярной
/?, таким образом, чтобы определить систему (k'%, ky, kz). Один из этих
векторов должен лежать в плоскости уг
и, следовательно, не должен иметь х-компоненту. Это можно записать так:
J+ (13.15.3)
что соответствует вектору i'y на рис. 13.15.1. Другой вектор можно найти
векторным перемножением i'y и откуда
ix = iy^i'z = - ~ix +
+ -тг^+-тг^ <13J5-4>
Рис. 13.15.1. Две триады единичных векторов, определяющие координатные
системы <100) и (111).
Три приведенных выше уравнения можно решить как совместные уравнения для
ix, iy, iz через i'x, i'y, 1'г. (Аналогичный результат может быть получен
просто перемещением строк и столбцов в матрице коэффициентов.) В
результате получим
причем
ICO _ 2*1 * 1 II ч ¦ч i'z,
уъ V2 ., У 6 х 2 у 1 v* V 1 з h, (13.15.5)
_ Кб V2 6 х 1 2 у 1 V* i' 1 3 h,
k = ?kaia = ?k'ai'a, a = x, у, z. (13.15.6)
Выписывая полностью левую сумму, выражая /" через i'a с помощью уравнений
(13.15.5) и собирая коэффициенты при i'x, i'y, i'z, можно легко получить
формулы преобразования
Уравнение эллипсоида с осью [111] (13.15.1) можно записать*) в виде
(k)-K = ^r№ + kl + kl-2М"-2М,-2ЛЛ) +
3 т*
+ -(r)ЙГ (^ + + Я + 2k*ky + 2k*k* + 2М*)- (13-15-8)
Элементы тензора эффективных масс получаются из (13.14.3), откуда
следует, что
ьн<ш,^В 1=!)' (1315-9)
где
" = -^- + -Sv 03.15.10)
Для тензора проводимости эллипсоида [111] получим
