Задачи по физике твердого тела - Голдсмид Г. Дж.
Скачать (прямая ссылка):
(ИПр
где А, В, С и D - произвольные постоянные. Дифференцируя эти решения и
подставляя их обратно в уравнения (13.11.2) и (13.11.3), получаем
очевидный результат, что уравнения удовлетворяются для всех значений t
только при С = В и D = - А. Используя этот
факт и выбирая в качестве граничных условий начальные ско-
рости vx = v0x, vy = v0y (при / = 0), приводим выражения (13.11.8) и
(13.11.9) к следующему виду:
о* (0 = [v0x - cos "Во* + (оо, + sin.a0t + ^, (13.11.10)
еЕх \ / еЕу \ . еЕх
Vy (0 = J cos a>0t - sin a>0t - . (13.11.11)
Эти компоненты скорости необходимо усреднить по экспоненциальному
распределению средних времен свободного пробега [27]. Средние по времени
значения (vx)t и <vy)t (для дырок) записываются в следующем виде:
00
j ох. у (0 ехр (- t/Xp) dt
= -----------------. (13.11.12)
J exp (- t/tp) dl
где тр (v) - время релаксации для дырок. При этом для упрощения отметим,
что поскольку (vx)t и {vy)t должны затем еще раз усредняться по
максвелловскому распределению начальных скоростей, а эти средние (00х и
v0y) равны нулю, то члены, содержащие эти величины в выражениях
(13.11.10) и (13.11.11), можно отбросить с самого начала.
После несложных преобразований, включающих нахождение определенных
интегралов, чьи значения легко находятся по таблицам, получим
Ы°Х1р -Еи) =
+ "dJtJ Ех+ 1 + ш=т* Еу)
е г/ \ ~\
= ^(Т'~Ч%)?-+Н%4 (13.11.13)
<"">'-^(-ТЩ'В.+гЗ&В.)- (13.11.14)
Теперь эти величины можно усреднить по распределению началь-334
ных скоростей. Результаты значительно упрощаются, если предположить, что
ш8т5<1. (13.11.15)
Это предположение (как легко видеть из (13.11.5)) обычно выполняется для
достаточно слабых магнитных полей В0. Поэтому условия, при которых
удовлетворяется неравенство (13.11.15), часто называют условиями слабого
поля. Наибольшие значения напряженности В0, для которых неравенство
(13.11.15) еще имеет силу, можно легко определить, если известны тр и mj;
эти параметры можно оценить из результатов измерений подвижности и данных
циклотронного резонанса. Используя общепринятые значения этих величин для
германия, можно легко показать, что неравенство
(13.11.15) при комнатной температуре выполняется для полей порядка 10 кэ.
При более низких температурах время релаксации становится больше, однако
и предельная величина В0 может быть значительно ниже. Читателю
предоставляется возможность самому определить пределы применимости
данного приближения для различных веществ.
Если условие (13.11.15) выполняется, величиной (о?тр можно пренебречь по
сравнению с единицей в знаменателях дробей в уравнениях (13.11.13) и
(13.11.14). После усреднения по распределению начальных скоростей получим
vx = ~ (?РЕХ - ФЪЕХ + (о"т*рЕу), (13.11.16)
ПР
йу = ?*(хрЕу - щт1Ех). (13.11.17)
ЩР
При этом средние (с чертой) определяются по правилу
а = (13.11.18)
которое, в чем мы убедились при решении задачи 13.8 (ср.,
например, с (13.8.10)), справедливо при определении средних в теории
кинетических явлений.
Итак, для х- и г/-компонент плотности тока имеем
Jx = p0evx = (1РЕХ - (оЦт f>Ex + (dJt^) , (13.11.19)
ПР
Jy = p0evu=^ фрЕу - иъх'рЕх), (13.11.20)
пр
где ро - равновесная концентрация дырок. Ясно, что в такой геометрии
опыта, как на рис. 13.11.1, нужно добиться стационарного состояния, при
котором Jy = 0. Пока стационарное состояние не установилось, ток может
иметь и вертикальную компоненту (по оси у).
335
Используя эти выражения (дли разных п), можно легко показать, что при
этих условиях соотношение (13.11.22) дает следующее выражение для
проводимости*):
Г| 1 \1 /. е*В$ № 4-л'
а (Во) = а0 1 - сооЛ2 Р-------------= а0 (1------------------
L I (v) <"a>/J °l m^kT 8
(13.11.25)
13.12. Выражение для "/-компоненты электрического поля было уже
получено - (13.11.21). Так как зависящий от магнитного поля член в
выражении (13.11.22) мал по сравнению с а0 (поскольку второй член в
скобках порядка ШоТр, а ШоГр-^1). то в первом приближении им можно
пренебречь и записать
(13.12.1)
'¦* (Jo Ро^р'
Подставляя (13.12.1) в (13.11.22) и выражая, согласно (13.11.5), (Оо
через В0, и из (13.8.12) - через тр, получаем
Еу = RJ хВй, (13.12.2)
где __
# = -Да- (13.12.3)
Р& (тр? v
Поле Еу, пропорциональное произведению JXB0, называется полем Холла, а
коэффициент пропорциональности R - коэффициентом Холла. Если средняя
длина свободного пробега не зависит от скорости, то, согласно (13.11.23)
и с учетом (13.8.8) и (13.9.2), получим
(о2) 3kT пт* Зя
(тр)2 (о)2 тр 8kT 8
(13.12.4)
Для примесного полупроводника я-типа рассуждения аналогичны, разница лишь
в знаке заряда. Это означает, что коэффициент Холла будет отрицателен, и
его величина равна (-''\/п^ес)х х[тя/(т")2].
Коэффициент Холла легко находится экспериментально из измерения
напряжения Холла на клеммах Л и В на установке типа изображенной на рис.
13.11.1. Это позволяет легко установить, является ли образец
полупроводником п- или p-типа, и определить концентрацию носителей
