Задачи по физике твердого тела - Голдсмид Г. Дж.
Скачать (прямая ссылка):
(13.9.12).
Поток частиц Fnz по определению равен произведению пОг, и тем самым из
(13.16.9) получим
Л. = пО, = -Д,? = -Ц,Уп, (13.16.10)
где Dn - коэффициент диффузии
?>"=,A?l. (13.16.11)
Аналогичный расчет можно выполнить для дырок; результат, очевидно, будет
следующим:
F" = -D,^ = -DpVp, (13.16.12)
где
13.17. Из задачи 13.16 мы знаем, что
ВР = Ц^~ (13.17.1)
Напомним также, что для подвижности, согласно (13.8.12), имеем \1р =
е?р/т*. Однако если средняя длина свободного пробега не
зависит от скорости, то с учетом (13.11.23), (13.9.12) и
(13.8.8)
время релаксации
- (чЧр (и)) Хв <v) m*cJk"
= = (13-17.2)
Из (13.17.2) имеем
SkT-ip 3kT ex. ЗАГЦп
<1317-3>
Tj "'p "P
%pfp \ipkT ?>p = -g- = --. (13.17.4)
Аналогично можно легко получить
Dn = -^. (13-17.5)
Соотношения (13.17.4) и (13.17.5) носят название соотношений Эйнштейна.
347
Хотя при их выводе было сделано предположение о том, что средняя длина
свободного пробега не зависит от скорости, это предположение не
обязательное и соотношения Эйнштейна справедливы, даже когда они не
удовлетворяются [3].
13.18. Начнем с уравнений непрерывности для электронов и дырок в
полупроводниковом кристалле, которые описывают изменение числа носителей
каждого вида в любом элементарном объеме при наличии потоков втекающих и
вытекающих носителей и при наличии процессов генерации и рекомбинации
внутри этого объема [27]. Уравнение непрерывности для дырок можно
записать в виде
-^Jp + SP-^=w (13.18.1)
и соответственно для электронов
+ = (13.18.2)
В этих уравнениях Jn и Jp - плотности потоков электронов и дырок (а не
плотности электрических токов), g" и gp - скорости генерации электронов и
дырок (скорость генерации - это число носителей данного вида,
образующихся в единице объема за единицу времени), а т" и тр - средние
времена жизни электронов и дырок *).
Потоки частиц обусловлены частично диффузией (эти потоки пропорциональны
локальным градиентам концентрации) и частично-электрическими токами,
создаваемыми электрическими полями. Согласно соотношениям (13.8.11),
(13.16.11) и (13.16.12) в присутствии электрических полей и градиентов
концентрации для плотностей потоков частиц можно записать выражения
JP = - DpVp-\-p\i.pE, (13.18.3)
Jn = -DnVn - 1Ц1пЕ. (13.18.4)
Здесь знаки поставлены с учетом того, что хотя электронный
ток направлен по полю, поток электронов направлен противо-
положно. Подставляя эти выражения в уравнения непрерывности (13.18.1) и
(13.18.2) и используя векторное тождество
V ¦ (фЛ) = А • Vcp-J-cp div А, где А - произвольный вектор и <р -
произвольная скалярная функция, получим
DpVp-lLp(E-4p + pdtoE)+g,-± = %-, (13.18.5)
Dn?*n + vn(E-4n + nA\vE)+gri--^- = ^. (13.18.6)
*) Заметим, что используемые здесь и ниже обозначения т" и т" относятся к
среднему времени между рождением носителей и их "гибелью" (аннигиляцией)
в результате рекомбинации. Выше эти обозначения использовались для
обозначения времени релаксации или среднего времени между столкновениями.
Использование одинаковых обозначений для разных по смыслу величин
является неудачным, но оправдано длительным употреблением в литературе, и
теперь является более или менее стандартным. Времена жизни обычно более
длительны, чем времена релаксации, поскольку носитель заряда за время
жизни испытывает много актов рассеяния.
348
Скорость генерации gp можно считать состоящей из двух частей: скорости
генерации электронно-дырочных пар, вызванной термическим возбуждением,
g0p, и скорости генерации, обусловленной неравновесными процессами, gp.
Такое же разделение можно сделать и для электронов.
При равновесии скорость термической генерации должна быть равна скорости
равновесной рекомбинации р0/хро или п0/тл0, где ро и п0 - равновесные
концентрации и тра и т"0 - времена жизни, связанные с равновесными
состояниями. Поэтому можно написать
DJ,V"p-liJ,(?-Vp + pdiv?)+^-(^-^)= f, (13.18.7)
D"V*n + 1лп(Е-Чп + п div E)+g'n-{~- т^) = ~ ¦ (13.18.8)
В этих уравнениях под полем Е подразумеваются как поля от внешних
источников э. д. с., так и поля, возникающие при изменениях внутреннего
распределения заряда, поскольку носителями заряда являются заряженные
частицы с различными подвижностями (и, разумеется, с различными
коэффициентами диффузии, как это следует из соотношений (13.17.4) и
(13.17.5)). Эти внутренние поля возникают, например, при инжекции
избыточных электронно-дырочних пар, когда электроны, подвижность которых
больше подвижности дырок,-опережают дырки.
Отрицательный объемный заряд, связанный с быстро продиф-фундировавшими
электронами, и положительный объемный заряд, появившийся в области
"отставших" дырок, создают внутреннее поле, направленное, очевидно, так,
чтобы задержать быстро диффундирующие электроны и ускорить более
медленные дырки. С того момента, как это внутреннее поле установится,
электроны и дырки будут диффундировать и дрейфовать согласованно, но со
скоростью, промежуточной между собственной скоростью электронов и
