Задачи по физике твердого тела - Голдсмид Г. Дж.
Скачать (прямая ссылка):
(-> =>1 (1з15п)
\-Р - Р а/
так как в отсутствие внешних сил, нарушающих эквивалентность
энергетических минимумов, с каждым из четырех минимумов должно быть
связано Яо/4 электронов.
Тензоры проводимости для других минимумов находятся так: уравнение для
эллипсоида [111] можно найти из уравнения
(13.15.8), изменив повсюду на обратные знаки ky и kz\ уравнение для
эллипсоида [III] - изменив знаки kx и kz, а уравнение для эллипсоида
[II1]- изменив знаки kx и ky. Тензоры эффективных масс находятся затем из
полученных таким образом уравнений при помощи (13.14.3). Тензоры
проводимости получаются сразу из (13.15.11). Этим же способом можно
показать, что
= * -р|, jj I "р|.
(13.15.12)
Полную проводимость кристалла можно найти, пренебрегая дыр-
*) При этом в выражении (13.15.1) константу следует положить равной нулю.
Это упрощение можно сделать, так как элементы (13.14.3) тензора обратных
эффективных масс зависят только от кривизны поверхности, поскольку
определяются вторыми производными, и они будут одинаковы независимо от
того, где расположен эллипсоид-в начале координат или в точке k'0.
344
нами, просто сложением четырех тензоров для отдельных минимумов. В
результате получим
/0/3 0 0
o = ^ a(i> = noe2f" j 0 a/3 0
Vo 0 a/3,
П°еЧ?а-1, (13.15.13)
где 1-единичный тензор, элементы которого равны 1ар = бар-Отсюда видно,
что полная проводимость изотропна, несмотря на то, что проводимость,
связанная с отдельным конкретным минимумом, анизотропна. Симметричное
расположение эллипсоидов в к-пространстве, которое в свою очередь
обусловлено кубической симметрией кристалла, обусловливает изотропность
полной проводимости. Обнаружено, что такое же положение имеет место и в
кремнии, что легко показать, используя выражение (13.14.2) и
соответствующие выражения для других энергетических эллипсоидов.
Формулу для проводимости (13.15.13) с учетом (13.15.10) можно представить
в виде
где
Записанная таким образом проводимость имеет ту же форму, что и
проводимость в (13.8.11), если ввести, как это уже фактически было
сделано в (13.15.15), некоторую среднюю эффективную массу т*. Величина т*
обычно называется эффективной массой носителя в зоне проводимости.
Приведенные выше рассуждения основаны на допущении, что время релаксации
т" для каждого эллипсоида изотропно, несмотря на анизотропию эффективной
массы.
13.16. Если в кристалле существует градиент концентрации носителей,
то функция распределения в любой точке образца уже не будет одинаковой.
Выберем координатную систему так, чтобы направление градиента
концентрации электронов совпадало с направлением оси г. При этих условиях
кинетическое уравнение Больцмана (13.8.1) для стационарного состояния
примет вид
|г = -о*#--^тт = 0- (13.16.1)
dt z дг т" (v) v '
Уже в самой записи кинетического уравнения содержится предположение о
справедливости приближения времени релаксации и об отсутствии внешних
полей. Разрешим уравнение (13.16.1) относительно явно входящей функции f:
f = fo - Vziniv) = f0 - mn(v) cos Q . (13.16.2)
345
Разумно допустить в этом случае, что функция распределения / не сильно
отличается от равновесной f0. Будем искать функцию распределения f в виде
произведения
f{v, г) = л(г)ф((c)), (13.16.3)
где п (г) - концентрация в точке г с координатами х, у, г и ф((c)) -функция
распределения скоростей, не зависящая от г. Подставляя (13.16.3) в
уравнение (13.16.2) и решая последнее относительно ф(г>), получим
ф((r))== .Г. , I TltoV (13.16.4)
n(/-)j^l4-OTn(t))cose ¦ -
Здесь утcos 0 - величина порядка средней длины свободного пробега к".
Следовательно, если (дп/дг)/п 1Д", то второй член в знаменателе будет
много меньше единицы. Эго условие можно переписать в следующей форме:
Отсюда ясно, что условие, при котором второй член в знаменателе выражения
(13.16.4) много меньше единицы, выполняется, когда относительное
изменение концентрации на расстоянии, равном средней длине свободного
пробега, мало. В этом предположении выражение (13.16.4) можно приближенно
записать в виде
Ф [l-от, (") cos в . ±|Lj; (13.16.5)
откуда
f{v, г) = я (г) ф ((c)) = Л> (и) [ 1- (и) cos 0 • 4-|!г]- (13.16.6)
Среднее значение i/* = i/cos0 можно определять по обычной формуле
? v cos в / (ю, г) dsv g" = J-f- -- - - (13.16.7)
)f(v, r) d3v
Подставив сюда /((c), г) в виде (13.16.6) и переходя к сферическим
координатам (элемент объема d?v = visinQdvdQdq>), выполним
интегрирование. Как и в задаче 13.8, первый интеграл в числителе и второй
в знаменателе стремятся к нулю, а после интегрирования по ф остается
оо Л
5 \ v2xn (и) fo (у) со82 9 иа sin в dv
и. = -т? ..-------------------------¦ <13168>
I fo (v) °2 в do db
И'
Взяв интегралы по 0, как в задаче 13.8, и предполагая, что
346
средняя длина свободного пробега не зависит от скорости, и тем самым т
(v) = X/v, получаем
UU
| vf0 (в) v2 do
*'=--------------------------= %г?. (1316-9>
\ U (V) V3 dv
о
где введено значение средней тепловой скорости сп по формуле
