Задачи по физике твердого тела - Голдсмид Г. Дж.
Скачать (прямая ссылка):
заряда.
13.13. Когда имеются два типа носителей, рассмотрение, проведенное в
задаче 13.11, можно осуществить для каждого типа
*) Автор вынужден обратить внимание читателя на ошибку, которую он
допустил в более раннем описании этого эффекта [27] на данном этапе. Он
ошибочно сделал вывод, что интеграл, используемый при оценке г3, согласно
(13.11.23), расходится. Это неправильно; легко видеть в действительности,
что интегралы в (13.11.23) хорошо сходятся для всех п С 5.
337
отдельно. Результат получается в виде (13.11.16) и (13.11.17) для
компонент средней скорости (в данном случае для дырок). Для электронов
соответствующий результат получается путем замены + е на -е.
Если для дырок
В соответствии с уравнениями (13.13.3) и (13.13.4) необходимо отметить,
что кроме прямой замены + е на -е, разумеется, делается также замена -ш0л
на + (o0p, поскольку заряд носителя входит в определение этой
характеристической частоты.
Выражения для х- и у-компонент полной плотности можно записать в виде
суммы электронной и дырочной составляющих:
Полагая, как раньше, Jy = О и учитывая соотношение (13.8.12) (т. е. вводя
e/mJ = fip/Tp и ejm* = ц"/тл), выразим Еу через Ех:
Заменяя далее ш0р и ш0", согласно (13.13.5) и (13.13.6), представляя Ех
как Jx/a0 = Jx!e (/z0fJ.n + Poh>) и записывая, согласно (13.8.12),
338
vPx = -L (тРЕХ - <о§рт??* + щр13рЕу), р
Vpy = рЕу (О0рГрЕх) , р
(13.13.1)
(13.13.2)
то после замены +е на -е получим для электронов
vnx = ~Л~ %пЕх + ч>\пх\Ех + со0ят%ЕУ),
,ПП
( ^пЕу (ОдпТпЕх)г
(13.13.4)
(13.13.3)
причем для дырок
(13.13.5)
а для электронов
(13.13.6)
jX -f- PffiVpx _* (fnEx (r)0яТп Ex (ОдпХпЕ у) -f-
п
-\-р?% (хрЕх - ЩрхЪЕх + Щр^рЕу), (13.13.7) р
Jу - Ч- ру -
= "1 ЫЕу + щпх*пЕх) + р-? [ЧрЕу - (о0рТрЕх)- (13.13.8)
/nrt р
РоЦрСОррТ" ПоЦяС0опТ^
Тр
(13.13.9)
поЦл + РоЦр
множители т.р и т* в числителе в виде eiBf\ip и eXn/\Ln, получим
соотношение (13.4.9) в виде
Ех - RJ ХВ0,
где
"о i#*
Ро
-Поь27
1 Ыа (тл)а 1 (т р)г (т р)
(13.13.10)
(13.13.11)
ес (n0|i" + PoMa ес (пф+Ро?
Здесь введено отношение подвижностей
b = H"/fV (13.13.12)
Если длина среднего свободного пробега не зависит от скорости и для
электронов и для дырок, то, используя такие же аргументы, как в задаче
13.12, можно показать, что т?/(Тр)2 = (тп)/(т")а = = Зл/8, что дает
Зл Ро + ЛоЬ(r) (13.13.13)
R
Secin^ + Pof
13.14. Изоэнергетические поверхности зоны проводимости кремния re-
типа не сферичны, какими они бывают иногда в более простых металлических
и полупроводниковых кристаллах. В данном случае они образуют конфигурацию
из шести эллипсоидов вращения, оси которых расположены вдоль шести
эквивалентных направлений <100) в &-про-странстве кристалла.
Такая конфигурация изображена на рис. 13.14.1, на котором
изоэнергетические поверхности представлены как функции компонент
волнового вектора
(kx, ky, кг).
Компоненты волнового вектора связаны с компонентами квазиимпульса {рх,
ру, рг) соотношением де Бройля
р = Нк. (13.14.1)
Рис. 13.14.1. Изоэнергетические поверхности зоны проводимости в Si л-
типа.
Уравнение эллипсоида с центром в точке (0, 0, ki0), поверхность которого
есть поверхность постоянной энергии Ш (k), можно записать в следующей
форме:
* (А) - К = к , (13.14.2)
2т*
здесь т* и ^ - эффективные массы, связанные соответственно с (х, у)- и z-
компонентами импульса. Уравнения других эллипсо-
339
идов получаются соответствующими перестановками индексов и знаков. Так
как из уравнения (13.14.2)
Ж w № д*Ш _ , _
= 0 для а ф р,
dkl
dkl
dkl
m*i
dkadk$
то ясно, что тензор обратных эффективных масс, элементы которого есть
(13Л4-3)
выражается для этого частного эллипсоида следующим образом:
/_L т1
о о
\
(13.14.4)
Электрическая проводимость, обусловленная носителями заряда, связанными с
этим эллипсоидом, анизотропна, хотя полная электрическая проводимость
кристалла, полученная, суммированием по всем эллипсоидам, изотропна из-за
симметричного расположения шести эллипсоидов в импульсном пространстве
(которое обусловлено симметрией кристалла).
Рассмотрим циклотронный резонанс, связанный с единичным эллипсоидом,
уравнение которого есть (13.14.2). Присутствует постоянное магнитное поле
В0, которое образует угол б с осью эллипсоида, вместе со слабым
высокочастотным электрическим полем, которое связано с электрическим
вектором электромагнитной волны (частоты со). Колебание электрического
вектора должно быть перпендикулярно направлению постоянного магнитного
поля В0; для удобства примем, что переменное электрическое поле имеет
только ^-компоненту (линейная поляризация). При этих условиях BZ = B0
cosG, 5v = 5osin0, Вх = 0, в то время как Еу = Е2 = 0 и Ех = Еоеш.
Уравнение движения для электрона можно записать как
1 m*L 0 0 \ И ldvx\ dt
_L . F== m* 0 1 m* 0 I . dvy dt'
0 0 1 / m\\ 1 V'l dvz \ dt
%¦ (13.14.5)
Компоненты силы есть просто компоненты силы Лоренца
F= -еЕ-
v х В0,
(13.14.6)
340
тем самым
Fx = - eE<flm - е (B0vy cos 6 - B0vz sin 6) /с,
