Задачи по физике твердого тела - Голдсмид Г. Дж.
Скачать (прямая ссылка):
системы, которая не находится в равновесии [27].
326
В приближении времени релаксации член, учитывающий столкновения,
приближенно запишется в виде-(/ - f0)/x(v) (где /0 - равновесная функция
распределения, а т -время релаксации, которое в общем случае зависит от
скорости).
Рассмотрим однородный образец полупроводника, в котором постоянное поле
Е0 создается приложенной извне э. д. с. так, что в образце
устанавливается поток электронов и дырок. В стационарном состоянии df/di
= 0. Если поле Е0 однородно, то V/ = 0 и сила F, действующая на дырки и
электроны, равна ±еЕ0 (знак плюс относится к дыркам, минус -к
электронам). Не теряя общности, можно выбрать систему координат так,
чтобы ось г совпадала с направлением электрического поля, тогда E0 =
izE0. Используя эти условия и вводя в (13.8.1) время релаксации хр с
учетом того, что pz = m*vz, можно получить для функции распределения
дырок следующее уравнение:
(13.8.2)
m*dvz т p(v) ' >
Величина хр есть время релаксации дырок. Для функции распределения
электронов уравнение будет точно таким же, только е надо заменить на -е,
а т* и хг (и) - на т* и xn(v).
Допустим, что возмущающее электрическое поле достаточно мало и поэтому /
и /о незначительно отличаются друг от друга; при этих обстоятельствах
можно пренебречь разностью между dfldvs и df0/dvz и подставить в
уравнение (13.8.2) df0/dvz вместо д?/диг.
Кроме того, поскольку равновесная функция распределения для этой системы
имеет вид /0 = А ехр [-m%(vl-\-vl-\-v\)l2kT\, то очевидно, что
dfo _ m*vz л ^n-m{vl+v'y+vfj m*pvz t /iqoqx dvz ~ kT P 2kT kT
U-з-о-з)
Подставляя (13.8.3) в (13.8.2) и решая последнее относительно
неравновесной функции распределения /, находим
/ = /o(1-!^P)=/o(1-^"c°se), (13.8.4)
где б -полярный угол между v и осью-z.
Плотность тока Jpz можно записать через среднее значение z-компоненты
скорости следующим образом:
/ ^ \vzf(v)d*v
J.t = реог = ре^-~-----, (13.8.5)
рг '
причем интегралы берутся по всему пространству скоростей.
327
Подставляя в (13.8.5) функцию f(v) в виде (13.8.4), переходя к
сферическим координатам и, в частности, заменяя d3v = = и2 sin 6 dv dQ
dtp, получим
со л. 2л. ^ ^
\ \ \ fo (v) 1---гтр- v cos 6 j и3 cos 6 sin 6 dv dB dtp
= --------------------- ----------------• (13.8.6)
^ ^ ^ \----a cos ej ц2 s'n 0 du dB йф
В этом выражении очевидно, что один из интегралов в числителе, содержащий
только f0, дает при интегрировании нуль, так как равновесное
распределение не может вызывать результирующий ток.
Это можно показать и прямым расчетом, ибо интеграл по 0, содержащий в
подынтегральном выражении cos0sin0 = V2sin20, при интегрировании от 0 до
л дает нуль. Этот же самый интеграл по углу, кроме того, появляется в
связи с зависящим от поля членом подынтегрального выражения в
знаменателе, и
поэтому этот интеграл также не дает вклада в окончательный результат.
Учитывая, что оба эти интеграла обращаются в нуль, и предполагая, что хр
(и) является функцией только величины v (а не угла), выражение для
плотности тока (13.8.6) можно привести к виду
СО
\ v4p (") 4яо7" (о) dv z ре2Ец о ре*Е0 /",2_ /",\\ /п о т\
Рг 3kT °° 3kT ' * w)" (13.8.7)
J fo (v) 4яи2/0 (и) dv 0
где среднее (а) (в данном случае от vhp (и)) берется по равновесной
функции распределения, т. е. функции Максвелла - Больцмана. Поскольку
средняя кинетическая энергия частицы равна 3/2kT, то
(у rripV2) = (и2> = ~kT,
или
3 kT = m*v(v2). (13.8.8)
Подставляя этот результат в (13.8.7), можно записать
ре*<с*гр(о)> р РЛ, /1оопч
= (v2) Е°~1^Ьо' (13.8.9)
где тр - некоторое среднее значение времени релаксации в пространстве
скоростей, которое определяется как отношение средних:
(а))
(13-8.10)
328
Аналогичным путем можно рассчитать z-компоненту электронного тока,
используя соотношение Больцмана для электронов. Выражение для z-
компоненты электронного тока будет иметь следующий вид:
Jnz = % (^пР~ Еа - (13.8.11)
т* (о2) " т* " 4 '
Поскольку J рг по определению есть плотность заряда ре, умноженная на
среднюю дрейфовую скорость дырок в направлении z (т. е. плотность
дырочного тока), то, согласно уравнению
(13.8.5), эта дрейфовая скорость равна ехрЕ0/т*. Дрейфовая скорость на
единицу напряженности электрического поля постоянна и равна exp/rrip.
Аналогично дрейфовая скорость электронов на единицу напряженности
электрического поля постоянна и равна exjm*.
По определению средняя дрейфовая скорость на единицу напряженности
приложенного поля есть подвижность соответственно дырок \lp или
электронов [i", так что
е"^Р /1 о п 1 о\
Рр = 70*, ^п = щ. (13.8.12)
Полная плотность тока есть сумма дырочной и электронной плотностей тока
Jz = JPz + Jnz = e (nfi" + p\Lp) Еа = оЕа. (13.8.13)
Здесь
а = е + p\i") (13.8.14)
есть не что иное, как полная проводимость, а уравнение (13.8.13)- это
просто закон Ома. Естественно, что в общем случае рассматриваются оба
вклада в проводимость - и электронов и дырок.
В металле, где носители тока подчиняются статистике Ферми - Дирака,
