Сборник задач по квантовой механике - Гольдман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
176 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Это уравнение имеет решение
У,п = СпУ ГА{ 2^ (2)
Чтобы найти связь между постоянными Сп и Ап, замечаем, что область
применимости квазиклассического решения (1)
й3
Г^> Zpe*
и область применимости решения (2), в которой пренебре-гается
экранированием поля ядра,
й2
гС
z'k
ре*
при больших Z перекрываются и поэтому решения (1) и
й2 й2
(2) в области ---------п---------------------- должны совпадать.
Z(j.e3 Z h (j.e3
Покажем, что вид решений (1) и (2) одинаков в общей
области применимости. Для этого положим в (1) р -
= |/ Тогда
получаем
AnV г hY^Ze'ir \ & Й2
V."=i----------cos ------h----'+? -...............;; • (3)
YWz^ \ ' Z|Ae z {xe
Й2
Условие означает, что аргумент бесселевой функ-
ции в (2) велик. Но для больших аргументов (д;^>1)
Таким образом, решение (2) принимает вид
^2 Y 2\iZe'1r ЗтЛ
yn - CnY г 1/ ------------- 11 --cos
Ln п у К Y2[>-Ze4
Ifl 4
й2 ^ ^ й2 -Г<0<
о* 7. и L
Z\J-e2 Z/з iJ-e2
Сравнивая эту формулу с (3), найдем:
4 '
Теперь можно найти ^2(0)
ЗЛ Ап^СпуГ А.
§ 7] atom 177
X
При х<^\ имеем J1(x) = ^ и с помощью формулы (2) находим:
У.п
г
,¦-+ о "Г 11" Т Й3
Следовательно,
Постоянную Ап определим из условия нормировки
jfpn dr
у2 dr = A2 ----.. . . --=-dr:
'-п п 1 Y>[En-U{r)\
о о
А* Г dr
2 J Y^{En~Ui,r)\
Дифференцируя по п условие квантования,
JV2n [Еп - U (/¦)] dr = it (п + у) Ь,
которое определяет Еп как функцию от п, находим: dEn Г dr
1.
!*-
dn J У 2|j. [Еп - U (г)\
Сравнивая последнее выражение с условием нормировки, получим:
2 dEn
п яй dn
и окончательно
п " Z2 р-е*
Для неэкранированного кулоновского поля Ьп=-YrP^ffi и
Z5 / у.е3\3
найденное из формулы (4) ф2 (0) = -р-1 совпадает с по-
лученным из точного расчета. В атомной спектроскопии для уровней энергии
возбужденных состояний валентного электрона часто используется формула
Р _______ 1
Ln 2№ (п - ау '
12 Зак. 1750. И. И. Гольдман, В. Д. Кривченков
= 7ГЙ.
178
ответы и Решений
где а - так называемая поправка Ридберга, слабо зависящая от п. Приняв
для Еп эту формулу, получаем:
^(0):
Z |А%в
(¦-?)
те Йв (П - а)3
28. Пусть электрон находится в стационарном состоянии, с определенным
значением проекции момента импульса т. Волновая функция такого состояния
равна
ЪпЫ(г, ", "р) = Rni(г) Р(гп)(cos Ь) eim'f.
Плотность электрического тока в состоянии tynlm в полярной системе
координат г, ft, ср имеет вид
Jy ------------ Уй -------------- 0, jfQ
\e\hm . . ,,
J-!------- Л _ i.U
(J.г sin d 1 'nlm 1
Очевидно, что вектор напряженности магнитного поля будет направлен по оси
Z. Круговой ток силы dJ создает в точке О (см. рис. 28) магнитное поле,
напряженность которого равна
dJ,
Рис. 28.
d?№~ = - 2тг sin2 &; так как dJ = Jj dS dr, rc Y
TO
2тс I g | hm Г R2
К J T
dr
| /*"*> I2 sin & di) = - dr.
|j.c J r
0
Этот результат можно получить и иным способом.
Как известно из электродинамики, напряженность магнитного поля,
создаваемого при движении заряда, равна (запаздывание не учитывается)
л.г. е 1 , . е 1 ,
^ - 7з ^ -'
где г- радиус-вектор, проведенный из точки наблюдения, I-момент
количества движения.
§ 7] атом 179
В квантовой теории для определения среднего значения напряженности
магнитного поля нужно вычислить интеграл вида
е№z = - J ^ так как ^ = т
то
\e\hl |е|Й/>"2\8 1
. = -т¦-!----------5 = -т.'--(^1 •
/-3 fie \т) / 1
Среднее значение 36х, &6у в нашем случае будет равно нулю вследствие
того, что
J" tynlmlytynlm J Ч^Тт^хЧпХт ^ ===
Для состояния 2р (т- 1) получаем:
= ~ ?2 (ж)" ' т- е- ^ ~ 104 гаусс-
29. Магнитный момент частицы равен
Ш = ~ I fl^dx.
2,j-c J 1 1
В случае двух частиц введем новые переменные: координаты центра масс (X,
Y, Z) и координаты, характеризующие взаимное расстояние (х, у, г).
Среднее значение магнитного момента, выраженное через новые переменные,
будет равно
= ~к j ^ {й + ж) (хту - F ш) +
+ ^{х^-Уш) + п^(хту~-Уш)}^г'
и аналогично для Шх и Шу.
В стационарном состоянии средние значения координат
х, у, z и импульсов --^ду' -^ 57 обращаются в нуль. Вследствие этого
последнее выражение упростится и примет вид
*. = -г^-Д1-") J ¦>*(-">(*Ту-Уш)}^'"
В этой задаче m - масса электрона, а М - масса ядра.
12*
180
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
30. АЕ = 0,00844 • 2,79^ см~К
Для основного состояния водородного атома (Z = га =1) АЕ = 0,0235 см~1.
31. Для определения энергии необходимо найти напряженность магнитного
поля, создаваемого электроном. Вследствие орбитального движения электрона
в той точке, в которой находится ядро, возникает магнитное поле,
напряженность которого по закону Био и Савара равна
где г-радиус-вектор, направленный от ядра к электрону, a j = - ev (заряд
электрона - е). Введем оператор орбитального момента I. Тогда для Hi
получим:
ЯГ, = - - - I
(J.с г'3
Вследствие того, что электрон, помимо электрического заряда, имеет
спиновый магнитный момент, полная напряженность магнитного поля в
указанной точке равна
Таким образом, оператор энергии сверхтонкой структуры мы можем
