Сборник задач по квантовой механике - Гольдман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
как он не вырожден относительно квантового числа I (I имеет фиксированное
значение l=j - V2 = = п-1). Все остальные термы тонкой структуры
распадаются на 2_/ -(- 1 равноотстоящих уровней -], ...
ATOM
201
68.
eh (У + т) 2fJ-c j (; + 1)
Шл.
59. В рассматриваемом случае спин-орбитальное взаимодействие Vv
релятивистская поправка на изменение массы V2 и энергия электрона во
внешнем однородном электрическом поле V3 =- Fz- величины одного и того же
порядка. Поэтому мы будем рассматривать их сумму как малое возмущение
исходной системы. При вычислении исходим из состояний, в которых имеют
вполне определенные значения орбитальный момент L, его проекция тг и
проекция спина ms на направление электрического поля (ось z).
Вычисляя матричные элементы величин Vv V2 и V3, имеем (в ат. ед.):
тх (т - тг)
л3/(/+т)(/ + 1) ... .,/(' + т)'-"1
+1,
ьц< при mj = тг,
¦8,i'
и' при тг
т
т, = т-
1
или наоборот,
1тг
1т1
I tiii
<У*\о-
1т
во всех остальных случаях,
1 4л ] °П °т1т1 2" /
--Is) (/2 т2)
4/2-1 F6Pll_1<
nlml
В случае п = 2 энергия состояний с квантовыми числами 1=1, т = тг + т8 =
±3/2 (У=8/2) в электрическом поле не изменяется. Смещение этого уровня
вследствие учета Vt
и V2 равно ат. ед. (см. задачу 10 § 7).
202
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Расщепление уровня, квантовые числа которого п = 2, . 1
т-±находится из решения секулярного уравнения И *
7(1)
S V 2
о
8 У 2 - 4-8-
' 4
7(1)
3 F
3 F
?(1)
= 0,
сс
где 38 = ^ ат. ед. есть расщепление тонкой структуры oZ
уровня п = 2 в отсутствии внешнего поля. Введем в это
г-,(1) р (1)
уравнение величину е, связанную с Е соотношением Ь - И, / 11 s
= е - - 6 I- - 8 представляет энергию центра тяжести
?</> + + 44 11 трех энергетических уровней --------------------=
¦т8
по-
лучаем:
или
- в 8 У~2
8 У "2 8 - s
0 - 3 Е
3 Е
= 0,
s8 - е (382 -(- 9F2) - 283 = о.
Решаем последнее уравнение в случае слабых полей (/7<СЗ) и в случае
сильных полей (F^>8). В первом случае получаем:
Ч
о '
F1-
' Ь '
et = - 8- V 3F
е2 - - 8 -|- з"/7 -
е3 = 28 + 2^-.
Во втором:
9 Я
§ 7] atom 203
60. Среднее значение полной энергии равно _ Г^(1+Хц)Яф0(1 + Хц)Л
н = ------7~"-----------------¦ (1)
J ^0^0 +'Kufd*L
С помощью интегрирования по частям приведем числитель к более удобной
форме.
Оператор кинетической энергии электронов имеет вид
г = 1
где п - число электронов, а Д{- оператор Лапласа, действующий на
координаты г-го электрона. (Расчет производим в атомной системе единиц.)
Запишем выражение для среднего
*
значения кинетической энергии в симметричной относительного и ф0 форме
- п г
Т - - ^i(l +
+ Фо(! -hХм)Д"(1 + Хм)фо} dx. Выполняя дифференцирование под знаком
интеграла, получим:
^ = J {ф*о(1+Ь")2Д4ф0 +
i = l
4" фо (1 Н" ^м)2 4" 2Хф0фо (1 -)- Хм) Д(И -)-
+ 2Х (1 4- Хи) Vi (ф^0) V*m} dx. (2)
Преобразуем два последние члена. Для этого рассмотрим тождество
V^Kl+Xa) V;m} =
- 'т'о'т'о (1 Н~ ^и) ^ia Н" (1 Н~ (фофо) ^iu Н~ (^iu)2- (^)
При интегрировании тождества (3) по всему конфигурационному пространству
имеем:
J* f 't'o'Vo (1 ~1" Хм) -(- (1 4- Хм) У*(фофо) ^iu} d ~ -
= - X J фо'HWdx. (4)
204 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Подставляя (4) в (2), получим:
_ П
Т=- tSt.J {^о(1+Ь)2Д^о + ^о(1+^)2Аг^о}^ +
г = 1
П Г
+ Щ I ^o(ViH)2dx.
г= 1
Оператор Гамильтона Н равен Н= Н0-\- и = Т~\~ Vи. Учитывая
коммутативность V с (1 -)- Хы), выражение (1) представим в следующей
форме:
1 J (1+Х")а (+*//->0+60Я^)Л+^ ^ J
Я = ?п
J (1 + Хы)3 d-оФо dx
Так как Н0% = Е0<Ь0, то
[ Фо" О +х")2'т;о rfT + -J 2 J <vi")2 Л
Я = ?0+ i = 1
J (1 + Xu)2d<* J,0 d\
ИЛИ
X2
(")оо + 2X (u2)oo + X2 (u3)oo + ~2 2 { (V)2>00
^ = 1 + 2). (и)оо + ^ (u2)w 1 ' (5)
где (и)00 = Jdx, (u2)00 = J dx и т. д. Разложим
второй член в (5) в ряд, отбросив члены с (и3)оо> (и)ооит.д.
Для добавки к энергии АЕ получим приближенное выражение вида
П
A?^(M)oo+2X(^)00_-2X(M)?o + j2l(Vi")2}oo- (6)
i = i
Определим значение вариационного параметра X из условия
п
= 2 ("% - 2 (U)lо 4- X 2 {(Vi")2 }оо = 0,
i = l
ATOM
205
откуда для X получаем значение
у о(")оо (и )оо
2 {(V)2>oo i = 1
Подставляя X в (6), получим искомое соотношение
А ?7 / Ч о ("^ОО ("2)0J>2 /тч
ДЕяа(и)оо - 2------------------. (7)
S №)3>оо
г = 1
61. Если атом находится в однородном электрическом поле, напряженность
которого f>, и поле направлено по оси z, то оператор возмущения
П
и------В У) Z{ =------i'Z.
j = 1
Матричный элемент (")00 равен нулю.
На основании формулы (7) предыдущей задачи имеем
АЕ яа - 2§2 {(2,3)оо> , п
где п - число электронов.
Отсюда следует, что коэффициент поляризуемости равен
д 4 {(г")ооУ> п
Необходимо отметить, что эта формула, полученная путем введения только
одного вариационного параметра X, представляет удовлетворительное
приближение лишь для атома водорода и гелия. В случае атомов с
несколькими электронными оболочками деформации оболочек будут не
одинаковы. Следовательно, в вариационном методе для получения более
удовлетворительного результата мы должны для каждой электронной оболочки
