Сборник задач по квантовой механике - Гольдман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
ввести свой вариационный параметр X.
Для атома водорода
СО
(г2)оо = j (г%0 = у ~ J e~"r* dr = 1
206
ОТВЕТЫ II РЕШЕНИЯ
и, следовательно,
а = 4 ат. ед.
В системе CGSE
а = 4(Э ^3-
Для атома гелия волновую функцию основного состояния возьмем в виде
¦Z3 97
^о = _?Ме-'2эфф('1+'2), где = yg (см. задачу 14 § 7). Произведя
вычисления, получим:
а = 0,98 ат. ед. или а = 0,98 см3.
Для найденного значения а величина диэлектрической постоянной гелия при
нормальных условиях будет равна
а = 1,00049.
Экспериментальное значение еэксп = 1,00074.
Сравнительно большое различие между вычисленным значением и
экспериментальным объясняется главным образом тем, что мы пользовались
грубой аппроксимацией для невозмущенной функции.
62. а)
El"_____________________________________________________
(-?)
(см. задачи 57, 59 § 7);
Е"' (" = 2'- т, - ±у) " •- т (ж),
где s определяется из решения уравнения третьей степени е8 zp 2,3s2 - s
(3§2 + 9F- - ,32) ± 232,3 - 2§8 = 0.
§ 7] atom 207
В случае сильных полей (8 F 8 (3)
е --t-g_____зр______1 9^ + р g2
е1 --Р 2 9F1 + 3F? '
2р
-S2,
9 - р
1 9/?±р
5з - - з/7 +
-з -г 1 - т 2 9F±3F3 (см. задачу 59 § 7).
63. Направим ось z вдоль направления магнитного поля, а ось х вдоль
электрического поля. Тогда для оператора потенциальной энергии электрона
в этих полях получим
pf7 Л 14
W ~ Щхс ^sz) Ч~ е^х-
Последнее выражение будем рассматривать как малое возмущение,
характеризуя невозмущенное стационарное состояние квантовыми числами
п, I, т, а (от и а - проекции орбитального и
спинового моментов на ось z). Отличные от нуля
матричные элементы х имеют вид
>" *.""-! _ 3 " -.f (n'i - fi) (/ - т+ 1) (/ - т) л
'ХН, ш-1 W г-i, ш 4 г (2/ + 1) (2/- 1) '
_/'vV"1'w-r______3 ^ ¦¦ / ~~ V) У+т-\)(1 + т)п
U'-1,"-1 'Х)г.т 4 пу (2/ + 1) (2/ - 1)
("=?)¦
Рассмотрим случай ге = 2. Пусть для определенности проек-
ch
ция спина на ось z равна -j- 1/2. Введем обозначения j3 = ъГс^' ^ * у--
у=е&а. Матрица оператора возмущения в этих обозначениях имеет следующий
вид:
'Л
0
т ?/
Нумерация состояний производится в порядке убывания / и т. Состояние с
квантовыми числами /=1, т - 0
208
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
не комбинирует с остальными. Энергия этого состояния равна ?^ = 3.
Остальные три собственные значения матрицы возмущения находятся из
решения секулярного уравнения
1. Если пренебречь различием между центром тяжести молекулы и центром
тяжести ядер и считать, что центр тяжести закреплен в начале координат,
то уравнение Шредингера для двухатомной молекулы будет иметь следующий
вид:
Здесь X;, Zi - координаты i-го электрона относительно неподвижной системы
отсчета, углы 0, ср определяют положение в пространстве прямой,
соединяющей ядра, р- расстояние между ядрами, а М - приведенная масса
двух ядер. Недостаток этого уравнения заключается в том, что в
потенциальную энергию V электростатического взаимодействия входят углы 0
и ср. Для того чтобы придать уравнению Шредингера более удобную форму,
введем новую систему координат ?, т,, С, вращающуюся вместе с ядрами. Ось
^ направим вдоль прямой, соединяющей ядра, а ось ? расположим в плоскости
ху. Положительное направление оси \ выберем таким образом, чтобы оси z,
С, ? составляли право-
Решая его, имеем:
Е'1] = ,3, 4?4 = 8 =± У> + 2т2 или, подставляя значения ^ и у,
§ 8. МОЛЕКУЛА
§ 8]
МОЛЕКУЛА
209
винтовую систему. Соотношения между старыми и новыми координатами имеют
следующий вид:
Si = - Xi sin о -|- VjCos ср,
y]j = - л:* cos 0 cos ср -.VjCos 0 sin ср -)-zt sin 0,
sill 0 cos cp -|- yi sin 0 sin cp -|- zi cos 0.
Различая дифференцирование при постоянных xit yit zi от дифференцирования
при постоянных ?г, rlit ?г штрихом при д находим:
Легко видеть, что
Потенциальная энергия в новой системе координат будет иметь вид
- расстояние между г'-ым и й-ым электронами в новых координатах:
- расстояние между k-м электроном и вторым ядром. Таким образом в
новых координатах потенциальная энергия не зависит от углов Ь и ср.
14 Зак. 1750. И. И. Гольдман, В. Д. Крнвченков
i
г
п п
где
ггк - V(k У2 + (rli Vic)2 ~h (ч '7,-)2
расстояние от k-ro электрона до первого ядра и
210
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
С учетом всех приведенных соотношений уравнение Шредингера примет
следующий вид:
/г- V (&. _L - 4- - di\.
111 ' 2 М г2
' д_ дг'
+{т-lL$ + шъ {щ -1 sin <~~1 cos bL)z] +
+ V&. -"и. V. р)-?}'Н^> ^ ч; р. 0. ?) = о.
Здесь L-r, L и представляют измеренные в единицах й операторы компонент
орбитального момента электронов в системе координат ?, rt,
2. Обозначим спиновую переменную /-го электрона относительно
неподвижного пространства через s!, а относительно подвижного через s*.
Функции &(... s{ •••) со спинами, отнесенными к координатной системе
связаны
с функциями 6(. . . s'г . . .) со спинами, отнесенными к координатной
системе xyz линейным преобразованием
'К- ¦ • s. ...) =
= f 2 5(Sl,..S{,....)'K-
= 56(... ...),
где
5(Sl, s2, s., . .., sj, ..., s', ...) =
= 5(st; s')5(s2; s') ... S(s/, s')
