Сборник задач по квантовой механике - Гольдман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
написать, что измеренный в единицах й, равен
.А_____ . /дв д , ду_ д_ , д \
1 \5а W да d'-f да dty) '
При бесконечно малом повороте относительно оси !¦ на угол da, имеем:
6 = 5', ]
^^n' - Vda, | (2)
C = i1/d* + C/ J
и
z = %' sin (cp -)- dcp) sin (6 -f~ dO) -)-
-)- 7]' cos (cp -j- dcp) sin (0 -)- db) -)-C' cos (0 -f~ d(t). (3)
С другой стороны, подставляя (2) в (1), получаем: z = %' sin cp sin 0 -f-
ff (c°s cp sin 0 -f- cos 0 da) -f-
-f- (cos 0 - cos cp sin 0 da). (4)
220
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Сравнивая (3) и (4), находим:
М d<? - it,
^C0SC?' ^ = -sincpctg6.
г, dil) sin <p
Поступая аналогично, имеем: -г- =--
J da sin 0
Окончательно для получаем выражение
? • ( д . . д , sin ч> д \
y5 = _l(cOs"Pgg_sm<pctg0a? + s-nrT^).
Таким же образом находятся выражения двух других операторов
г ¦ I д , д . cos 9 д\
y4 = _^_sin?5g--cos,pctge^ + -гщ),
г ¦ &
^------%¦
16. Ej = ^J(J+ 1).
Каждый уровень вырожден (2J-\~ 1) раз по направлениям момента
относительно неподвижного пространства и столько же раз по направлениям
момента относительно самого тела.
то
17. Так как Н = ± j2+ 1. (i. _ J.)
= + 4 = A Ik\<J-
В этом случае полная кратность вырождения уровня равна 2(2J-\-\).
Вырождение по направлениям момента в неподвижном пространстве остается
по-прежнему равным (2J-\~ 1).
18.
li2 \ 1 д / . ди\ . 1 / д2и . д2и\
2А \ "sTnT Ш \Sltl Ж) sIPT г- J -
0 cos8 Л 1 Ь2 ( 1 1 \ д* и
sin2 е ) 2 \С А) дф~
19. Поскольку с J2 коммутируют операторы \ = -
и 4 = -i-щ , то собственную функцию будем искать в виде
§ 8] молекула 221
где Mj, k - проекции момента на неподвижную ось ~z и подвижную ось С
соответственно.
Так как ф и ср входят в уравнение (14) симметрично,
а | k | J, то | Mj | <; J.
Рассмотрим операторы
к + u\ = (1)
к - lJ\ = - iel'? (jo +1 ct?9 - -^fo !$)' ^
Легко проверить, что
к (к ^к) ФkJMj =' (k 1) (j\ iJ-r) ФkJMj.
т. е. выражение (^ - U^^ujmj есть собственная функция,
соответствующая значению (?-|~1) оператора к-Положим k - J, тогда имеем:
(^ - Иг.) Ф jjmj = 0.
Последнее соотношение можно представить в виде
(ж+•* ? - тг, i) -"•
Отсюда найдем обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка для
определения Qjjmj
d<djjmT MJ~Jcos О
~аГ- 4------------iHTo-'= °-
Общее решение этого уравнения имеет вид
a (sin6)'7
VJJXJ - С _------------лу
tsjj
ИЛИ I
J-Mj J+Mj I
0(0) = с(1 ----COS 0) 2 (1 -)- COS 0) 2 . )
(3)
Поскольку функция 0 должна быть конечной, то \MJ\
222 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Для того чтобы определить функцию SkSMj> рассмотрим действие на нее
оператора (У-4-г'Ут). Так как
Л (Л + &kJMj - {k - 1) (j% -f - iJT) 0itJMj>
TO
(it + IJ^) QkJMj ~ 3-k^k-lJMj- (4)
Подставляя в (4) явный вид оператора iJ^) из (1),
приходим к уравнению
dQkJMj ftcos0 - Mj
-м--------1--------SilTo- = ia№-iJUj>
которое после введения переменной x = cos9 принимает вид ,-------- dPkJм
(x) Mj-kx
V1 - х --------------- Ч---/¦ ¦¦¦¦ PkJNj(x) = ¦- iakpk-iJMj (*)>
dx V 1 -
где
PkJMj (х) = fttJMj (arc cos х).
Положив
(k-Mj) (fe+Mj)
PkJMj = (I X) 2 (1+-*0 2 vkJMj. (5)
найдем простое соотношение для определения VkjMj dvkJMj
= - i°-kvk -I JMj ¦ (6)
Ранее найденные функции Pjjmj (см. (3)), можно переписать в виде (5)
Pjjmj (*) = (1 - х) 2 (1 + х) 2 VjjMj,
где через Vjjmj мы обозначим выражение
vjjmj (х) = с (1 - xf Mj (1 ¦+- xf+ Mj. (7)
Из (7) и реккурентного соотношения (6) вытекает, что
§ 8] молекула 223
Следовательно,
QkJMji^, 'i, cp) =
k-Mj k-iMj
= ce1^ еш,т^ (1-cos 6) 2 (1 -(- cos 0) 2 X
x (rf^Te)'7"*{(1 -co.e^(l + co,e^ };
при Mj = 0 эти обобщенные сферические функции переходят, как и следовало
ожидать, в обычные сферические функции и представляют собой волновые
функции ротатора:
20.
Нкк+2 = Н]с+2 к -
= -g ^ У(J- к) (J- k - 1) 1) (-/ -(- ^ 2).
21. Для асимметрического волчка вырождение по направлениям момента
относительно неподвижного пространства все еще остается. Вырождение
относительно квантового числа k полностью снимается, так что данному J
соответствует (2J1) различных уровней. В случае J= 1 уровни энергии
определятся из решения секулярного уравнения вида
Ни - Е Hw
Яю Яоо Е Яо_1 =
Я_и Я_ю Л-i.-i- Е
Нц Е 0 "i.-i
= 0 Яоо Е 0 = 0
"-Ы 0 "-1.-1- -Е
я_ 1,-1 = яи то имеем:
(Я00 - Е) (Я А +-Ег-2HnE - Hl -0 = 0,
откуда
*-?(*+*)• *•-?(*+?)•
224
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
22.
Е т
1 - ('¦'t Sill 0 4 тс
Ех Ф/:=о, ш 0 i V 4cos 0
- 1 yT ., -: <7 -Sill 0 4л
1 ^ ^ e<+ (cos 9 -)- I cos 0 sin 9)
Е* С (Ф& = 1, 1)1 + 4" -1, т) 0 " l/ cos 9 sin 0
- 1 1 Г3 У IB ^cos ^ -гcos (r)sin ^
1 1 / 3 - y jg e'li< (cos 0 cos cp -j- i sin cp)
Еъ с ((r)4=1, т~ - Ф*=-1, т) 0 ~ j/~~ sin 0 sin cp
- 1 1 f~~5 - у yg (- cos 0 cos cp -)- 1 sin cp)
24. Расщепление терма обусловлено взаимодействием спин - спин. Для
определения искомого расщепления необходимо оператор взаимодействия спин
- спин a (Sn)2 усреднить по вращательному состоянию. При данном К
квантовое число J принимает значения
J= К-\~ 1" К, К- 1.
МОЛЕКУЛА
225
Отличные от нуля матричные элементы (nS) имеют вид
