Сборник задач по квантовой механике - Гольдман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
/"С'\E-lJ-E J=K ^ /~ К. -I- 1
j=k ^пъ>к-и=к У 2АГ -f- 1 '
("5)Г1^=("5)^1^=|/' 1JLt,
J=?т1___(^ i j-ff+i 1 f~ КЧ- 2
{ПЛ>К+1 J=K+l \пл>к j = e+ i у 2K + 3'
(" c j=K- i______________________Q^K- i j = K-i_-щ f~ К. 1
\ПЛ>К-\. J = K-Y J=E-1 К 2/C-1"
Пользуясь последними соотношениями, находим искомое рас-
щепление компонент триплета:
лгг К+2 А с л с Л"-1
A?j=g-n = 2/с + З' И' ^w = ff=a> A?j= g_i = 2/^_i 0
25. Найдем прежде всего недиагональные элементы оператора w
с ) ni2t>J
Легко видеть, что отличны от нуля только матричные элементы,
соответствующие Q' = Qrtl, J - J'.
Так как
{^С±1==5=МЛ1,|^±1.
ТО
4 A.2J
lte'}nAS + lt!j- М { ~ (36 + Sin 6 (3'f - 1)Ct?9
x(i^)
Д.2 ± 1J nL%v
' "Д2 ± lv
Для вычисления матричного элемента
( г) i с) \ А2</
|-^ + Sm0^ + (2-1)ctS6)A2±1J
заметим, что если в операторе (У--}-гУТ1) (см. задачу 13 § 8) положить
угол ср = 0, а - г -> Мс, то
(У: =+= гУТ1)? ^ 0 = q= i {=t ^ -f- -щ + (2 ± 1 )ctg а }.
-; ^ мг
дъ ¦"
15 Зак. 1750. И. И. Гольдман, В. Д. Кривченков
226 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Учитывая последнее соотношение, имеем:
= ±/уг(У+2)(;±2+1).
В случае малых колебаний около положения равновесия матричный элемент
,1 ч пА.2г>
{Ллг,}
I Р" ' п\е ± iv
приближенно можно положить равным
Ро
где р0 - расстояния между ядрами в положении равновесия. Так как
{V+lit ± , = [Sn Cl ± 1 =:± L /5(5+l)-S(E±l), то окончательно имеем:
, .nKSvJ ( J пЛ.2 ± lvJ
= B0VS(S + 1) -?(?±1)/У(У+1)-(Л+?)(Л+*:±:1.
й2
Здесь В0=-------г- представляет собой значение оотационной
2МРг0
постоянной для состояния равновесия, отвечающего некоторому р = р0.
В общем случае дублетное расщепление может быть равно по порядку
вычисленным матричным элементам. Поэтому для расчета смещения уровней
дублетного терма применим теорию возмущения в несколько измененном виде.
В качестве исходного нулевого приближения возьмем вместо функций
^пЛЛ + 1 .vj > - 'i-u/
их линейную комбинацию
§ 8] молекула 227
Подставляя это выражение в возмущенное уравнение и поступая стандартным
образом, находим секулярное уравнение
р(0) ______ р ".яА А + 1/,2vJ
?nAA+i.'VuJ" ? ^теАД.-i/svj"
ПАА-1/2V/ 7^(0)
*^nA А 4- 1/2'Uc/' ^ и АД - VeU J ?
= о.
Из решения секулярного уравнения следует, что
Е = ^Ет±\у/~Д?(0,+ 4В02{(У + ^)2 - A2 j, (1)
где
?(0) = 4?L+ .W + А - ¦ :VJ.
A р(0) __. р(0) _ р{0)
В случае связи а, когда мультиплетное расщепление велико по сравнению с
вращением, из соотношения (1) приближенно следует, что
, fio|('+ir~AS
Ех = Я/г АА +
Е2 = finAA-^uJ------------
Д?(й)
fi2 I (у + у)2-л2 j
Д?<°>
В случае связи b из (1) получаем:
1 ^(о). г, I / , , 1 \2 ,, 1 Д?(0)
е,,. = т?""-М(-'+т)2-л,)±
26. /С = 0, 2, 4, ..., если суммарный спин 5=2 или 5=о> К= 1, 3, 5,
..., если суммарный'спин 5=1.
27. Магнитный момент молекулы равен ^^(Л-f-22) я,
где я - единичный вектор, направленный по оси молекулы.
Для определения энергии расщепления необходимо усреднить величину
-^<д + 22)"и
по вращательному состоянию, т. е. определить матричные элементы
228
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Так как J есть единственный сохраняющийся вектор, то очевидно, что
матричные элементы вектора п будут пропорциональны матричным элементам
вектора J, т. е.
JMj , . jm';
Wjm . ( \ты л
3 1
Рассматривая п как оператор, имеем:
п = const J.
Для определения константы умножим последнее выражение слева и справа на
J. Так как собственные значения J2 равны У (У-f- 1), a Jп равны 2, то
имеем:
"- /(/+1)
Таким образом, оператор энергии возмущения равен
-24c<A + 2S>'7IJTTj3^
Вычисляя диагональные матричные элементы, получаем для энергии
расщепления выражение следующего вида:
=- Ш- (Л+2?) 7ТГП) м>¦
28. Оператор возмущения, как легко установить, в данном случае имеет
следующий вид:
-2^"(ШТТ)^+2*!-
Отсюда следует, что зеемановское расщепление равно
[ A,J(J+l)-S(S+l)+AC(.y+l) . J(J+\)+S(S+l)-K(K+l)\ Х 2/C(/v +
l)/(/+l) т /(/+1) Г
29. Энергия зеемановского расщепления равна
А2 MK+2MS].
К(К+ 1)
30. Так как энергия взаимодействия, магнитного момента с внешним
магнитным полем одного порядка с энергией
МОЛЕКУЛА
229
взаимодействия спин - ось, то их надо рассматривать в теории возмущения
одновременно. Оператор возмущения имеет вид
V = AttS - Лп§С - 2[а05§? .
В качестве волновых функций нулевого приближения возьмем волновые функции
состояний, в которых имеют определенные значения момент К и проекция К и
5 на направление магнитного поля. Ось z направим по магнитному полю. Так
как проекция полного момента на направление магнитного поля сохраняется,
то в случае дублетного терма мы должны применить теорию возмущения при
наличии двухкратного вырождения. Вычисляя матричные элементы оператора
возмущения, имеем:
V%k, -V* ^ - Мк 2К{К+ 1) А ~~ МкК (К + 1)^0?%? !хо^>
V^X =4 л КЩГТ) Пк-м + щк+м) =
= у А {пх-\- in у} м t,
1" _ _1_ , , ____ . ]мк-
уУк -1!г - 2 [ 00 у1мк
==iAK{]^+i Составляя и решая секулярное уравнение, получим: t,(D Л2
[ лл 1 vo АЛ. 1
h2~~K(K+ 1)V 2 ГоеЛ/ 4К(К+ 1) ~2К{К+\) Х
"/{ Аа(м~уА*нЖ+2нтК+\)К]*+АК\?{К+Мк) {К-Мк+1) •
