Сборник задач по квантовой механике - Гольдман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
(ограничиваемся только неотрицательными значениями) и получающиеся в
каждом случае термы
Ml
т 0 Ф (1 , - -1 + , (П [45] Ф
1 2 0 Ф(1 + , - -1+, 0") ' 4S' Ф
Ф(Г, - ~1+, 0+) гр Ф
1 2 Ф(1 + , - -Г, 0+) ,2Dj Ф
1 Ф(1 + , Г, -1+) - гр- Ф
1 2 Ф(1 + , 0+, 0") 2D Ф
2 Ф(Г, г, (Г) [Ю] Ф
вычислим действие операторов (Lx- iLy),
на некоторые из приведенных выше состояний
(4-*4) фо = VJ (ф3 - ф2)> (4-*4>фв = К2(Ф2-Ф4),
186 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
(4 - iLy) Ф7 = V 2 '(ф5 - фв),
г^1/) Ф1 = ф2+ Фз+ Ф4>
з
Фх есть волновая функция состояния 45 с Ms=y , ^? = 0-
Действуя на эту функцию оператором (Sx- iSy), согласно (1) получим:
(4 - ф Ф (*S, | , о) = КЗФ (*S, -J , о) .
так как
($а> - ~ ^4*
то
Ф(*5, 1, о) = -^=-(Ф2 + Ф3 + Ф4).
Аналогично для терма 2D получим следующие волновые функции:
Ф (2D, 1, 2) = Ф7,
1) = 7Т(ф"-ф*)' ф(гО, I, о) = -1=.(ф, -2Ф. + Ф,).
Состояние 2Р, у, Mi=lj представляет собой
линейную комбинацию состояний ФБ и Ф6, ортогональную к состоянию 2D, у,
1. Из этих соображений находим:
ф{гр- h ') = 7Т(Ф'+Ф*)'
и далее
ф(,р' т.°)=-7!<ф>-ф*>-
Таким же самым способом можно получить волновые функции, соответствующие
отрицательным значениям проекции.
43. Как следует из приведенной ниже таблицы для определения собственных
функций двух термов 2D, необходимо вычислить сперва собственные функции
термов гН, 2G, iF, 2F.
§ 71 atom 187
Ms ML
1 2 5 Ф(2 + , 2", 1+) Ф1 [2Я]
1 2 4 Ф(2 + , 2', 0+) ф2 2Н~
Ф (2 + , 1 + , Г) ф3 20
1 2 3 Ф (2 + , 2", -1+) ф* -2Я-
Ф (2+, 1 + , (Г) ФБ 20
Ф (2 + , Г, 0+) Фб 4/7
Ф(2", 1 + , 0+) Фт -2/7_
1 2 2 Ф(2 + , 2", - 2+) Фа -2Я~
Ф(2+, 1 + , - 1") Ф9 20
Ф (2+, Г, - 1+) Ф,о ''Z7
Ф(2_, 1 + , -1+) Фи 2/7
Ф (2+, 0 + , 0") Ф12 2D
Ф(1 + , Г, 0+) Ф13 JD _
3 2 3 Ф (2 + , 1+, 0+) Фи I4/7]
3 2 2 Ф (2+, 1+, -1+) Ф"
Найдем сперва результат действия операторов (Lx - iLy), (Sx- iSy) на
некоторые из приведенных выше состояний:
(4 iLy) Фу = - 2Ф з +V 6Ф2,
(4 iLy) Ф2 = - 2Ф7 2Ф6 У"бФ4,
(4 - ify) Фз = - /6'т- " + / 6ФБ,
(Sx tSy) Фн - + ^6 Ч- ^5>
(4 - iLy) Ф4 = - 2ФИ 2Ф10-(- 2Ф6> (4-//;)Фв = /6Ф12 + /6Ф9,
(5а; iSy) Ф15 = Фа -f- Ф10 + Фе.
(Lx iLy) Фв = 2Ф13 - У 6 Ф^2 -1/" 6Ф10,
(4-*4)ф^--2ф1з+/бФц.
188 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Волновая функция состояния 2Я, ~ , 5 ^/Ws = -1, Мь = 5^ равна Фх, т. е.
ф(^Н, > 5^ = ФГ Применяя оператор
(Lx - iLy), получаем:
(Lx-iLy)<S> (2Я, I, 5) = 1Лоф(2Я, I, 4).
Так как (?,,-г?г/)Ф1 = - 2Ф3 + У^6Ф2, то
ф(>м 5-' 4) = -^а СКбФ2 -2Фз).
Другие, нужные для решения задачи, состояния терма гН находим
последовательно:
ф(2Я, 1, з) = -^{/6Ф4-2Ф6 + 4Ф6-2Ф1}, ф(2Я, I, 2)=^{Ф8-Ф9+ЗФ10-2Фи-
ЗФ1г+УбФ18}.
Состояние Ф ^20, у, 4^ представляет собой линейную комбинацию состояний
Ф2 и Ф3, ортогональную к состоянию Ф ^2Я, у, 4^. Из этих условий
определяем волновую функцию Ф ^20, ^ , 4^
ф(20, 1, 4) = -^{2Ф2 + 1/бФ3}.
Так как состояния разных термов не связаны никакими фазовыми
соотношениями, мы можем положить а = 0.
Другие состояния терма 2G получаются посредством последовательного
применения оператора (Lx - iLy). Итак, имеем:
ф(20, I, 4)=-^{2Ф2 + /бФ3},
ф(20, 1, з) = -^{УбФ4 + ЗФб-Ф6-2Ф,},
Ф(2°'Т^) =
= ]/"т^{2Ф8+ЗФ9-+Ф10 - 4Фп + 4Ф12+|/Г2 Ф13}.
§ 7] АТОМ 189
Для того чтобы решить задачу, нам необходимо еще определить функции Ф
^Т7, у > 2) и Ф^2/7, 2^.
Так как Ф (4^> у > 3j = Ф14, то, действуя оператором
(5Ж - iSy), получим состояние Ф^4/7, у, з) :
(Sa - lSy) ф(4Л з) = /Зф(4Л 1, з)=(4-ффи,
Ф(4Л i' 3) = yf (ф5+фб+ф.)-
А из состояния Ф^4F, у, 3^ посредством оператора (?ж-/?,,) получаем
состояние Ф ^Т7, у, 2^:
Ф(4^ Т- 2) = -^(Ф9+ФЮ+Фи).
Волновая функция Ф ^2F, у, 3^ определится из условия ортогональности ее к
трем функциям Ф {^Н, у , 3^, Ф (2G, у, 3). Ф i^F, у, 3). Нормированная
функция Ф (2F, у > з), определенная из этих условий, равна
ф(2Л 1, 3) = -^=- {-УбФ4+Ф6 + Фв-2Ф7}.
И, наконец,
ф(2Л |,2) = -^{-2Ф8 + Ф9-Ф10 + УТФ13). Теперь мы имеем четыре состояния с
= у и Mi = 2, ф('Н, i,2) =
= -тщ ("в - Ф" + Зф.0 - 2фи - Зф1! + У 5ф111 ' Ф (ю, 4^2) =
= 740 {2фв+3Фэ 4'фю - 4ФП + 4Ф1? + уФ13[,
i 90
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Ф(*Л 1, 2)-у=- {Ф9+Ф10 + Фц},
ф(*Л 1, 2) = ^ {-2Ф8+Ф9-Ф10 + /бФ18}.
В эту же группу входят еще два 2D состояния. Эти два взаимно
ортогональные '2D состояния ортогональны также к написанным выше четырем
состояниям.
Из условий ортогональности и нормировки получаем следующие
ортонормированные функции:
Ф (аЮ, -i, 2) = 1{-Ф8-Ф9 + Ф10+Ф12},
Ф(т 4-, 2) =
= 17IT ^ - 5Ф8 + ЗФ9 + Ф10- 4ФИ - ЗФ12 - 2 ]/бФ13}.
у о4
Остальные волновые функции 2D состояний, соответствующие другим значениям
проекции моментов, легко определяются посредством последовательного
применения операторов
(Ас ^ц) И (S х ^у)'
44. Составим сперва список всех состояний, принадлежащих конфигурации
tipti'p. Ограничимся неотрицательными значениями М$ и ML
рр Ms
1 0
2 'Si(l + . 1+) ф2(1+. 1") ф3(1". 1+)
1 ФД1 .о ) Ф6(1 + , 0') Ф,(0+, 1-)
ML Ф5(0 + , 1+), Ф8(Г, 0+) Ф9(0", 1 + )
0 Ф1О(1 + ,-1+)Фп(0+,0+) Ф12(~1+. 1+) ф13(1+, - Г) фи(0+,0")
