Сборник задач по квантовой механике - Гольдман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
представить следующим образом:
w = - р/зс.
здесь i - оператор спина ядра, а [З/ - магнитный момент.
Будем рассматривать w как малое возмущение. Невозмущенное состояние
характеризуется квантовыми числами п, j(J =l-\- V2, j-l-V2), I
(предполагаем наличие LS связи).
Для определения энергии сверхтонкой структуры мы должны усреднить
оператор w по состоянию с квантовыми числами
/. У- i(f=jjt-b-
§ 7]
На основании формулы
АТОМ
181
(fA)
a fmr
{А\т = /(/+1)
(/)
fmr
fm
имеем:
nljm' eh ( \\nljmj 1(1+1)
* пит. ph / 1 V
; ¦ ЧпПт. J U + 1)
3
Используя это соотношение, легко показать, что оператор w может быть
представлен в виде
- eh 0 1 /(/+ 1),; г.
w = ^r"TuTT)itJ)-
Отсюда следует, что энергия Е сверхтонкой структуры определяется
выражением
Е = К ^ )) uX 1) ^(-/Г+ О - *0' + !)}•
Таким образом, при учете сверхтонкой структуры каждый терм,
характеризуемый числами п, I, j, расщепляется на
см~'
. у^0.0050
¦ у3 + 0.0015 ЗгР,
- У3+0,0ООН
¦ у,
¦ v,+0,0583 (2-
¦V, г[/-
¦ У,+0.0583
¦у,
Dr 58$оЬ
D, ~ SSS5H
Рис. 29.
2/ -)- 1 компонент (если j > /). Совокупность различных значений / дает
правило интервалов для сверхтонкой мульти-плетной структуры.
Отметим, что путем простого подсчета числа компонент сверхтонкой
структуры в спектре данного изотопа
182
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
можно определить спин ядра. На рис. 29 изображена сверхтонкая
мультиплетная структура D-линий натрия.
Тонкая структура, т. е. наличие дублета (линии
О
D1 = 5896 A, -соответствующая переходу З2/5^ ->- 32Si/2 и
О
D2 = 5890 А, соответствующая переходу 32А/2 -> 325у2), объясняется спин-
орбитальным взаимодействием (см. задачу 10 § 7).
32. В диамагнитных атомах равен нулю не только полный момент, но равны
нулю порознь как результирующий орбитальный момент, так и результирующий
спиновый момент электронов. Вследствие прецессии электрон приобретает
добавочную скорость
Обозначая через А векторный потенциал внешнего магнитного поля А= 2-
[3?г], последнее соотношение можно переписать в виде
/ е л
v - -А.
IJ.C
Плотность тока, возникающего вследствие прецессий электронных оболочек,
равна
У = -?-Др(г),
[АС 14
где р(г)--плотность заряда в точке г (заряд электрона равен - е).
Определим сперва векторный потенциал А' индуцированного магнитного поля
Используя формулу
1 1
rn Y+ rt - {cos 0 cos 0 -f- sin 0 sin & cos (Ф - <?)
dx'.
2/:
~ьГ У'т (0> ф) кг>" ?) I *l+1
[ > r<R,
§ 7] atom 183
получаем выражение для А'\
*' (г> - бтэ I"'-' • {к .Г '•'%('¦')*'+ J '-Р о--'} ¦
I ГГ < г у' > Г ^
С помощью последнего выражения легко вычислить напряженность магнитного
поля в направлении оси z. Напряженность равна
г' <г г'Уг
Индуцированное поле в центре атома, т. е. поле, действующее на ядро
зависит от электростатического потенциала ср (0), производимого
электронами.
В модели Томаса - Ферми
Ш (0) = - 1,588 - , где Ь = 0,858 , а = -,
Т Ь Z ;х^?2
и, следовательно,
J$?'(0) = -0,319 • 10 - 4 2*/з
33. J^(0)=-ggg = -0,599- 10~4^.
34. х50, S-Sj, 3Р0>,, 2. 2?)за> "/,. 4Д," */,. "/*" V.-
35. a) б)
в) Ю2й0123;
г) 1503511Рх, 3Poi2 *^2 8^123-
36. а) 45 2Р 2/3;
б) ^SP1^3/"^;
в) 252Р 4Р 2?>.
37. 03Р2, Cl2P3/l, Fe 2Z34, Со 4/7"s, As 45Vs, La 2?s/l.
38. К, Zn, С, О - четные; В, N, Cl - нечетные.
184
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
39. Если все тройки квантовых чисел различны, то число
N
состояний равно числу сочетаний из N по - Ms, т. е.
- N+M"
?(MS) = s.
Если имеется N' пар одинаковых троек кзантовых чисел п, I, тг, то
- (N-2N') + M
g(M8) = c*_2N,
40. Число состояний равно
(Х'- ' Л'- • Г), где Л/, = 2 (21 1).
42. С целью краткости антисимметричную волновую функцию вида
Ф =
М
'КЧ'т\т\ 'K2l2mhnl &) 'К212т2т2
nl nts
'Ч т8
^ 2 т2 2 2 (Sv)
' п I M7me &
lb 18 l в
составленную из функций одноэлектронной проблемы, будем обозначать
следующим образом:
Ф(nlllm)ml, п212т2т2,
18 18 18
Рассмотрим действие симметричного оператора
" = 1
- ill) yJ
на антисимметричную функцию
Фп212т2т2> ..., nNLNmfmf).
Легко видеть, что
(4, - 1Еу)Ф (nlxm\ml, n2l2m2tn2s, ¦¦¦) =
= YО-1 Ч~ - т\ + О Ф {.п1Рт\ - 1/я', /г2/2т|/?г|, •. •) + + У"(/2 + т\)
-(- I) Ф (п'Рт^т^, пЧ2т2 - 1 т2,
I ~\/~ / /А I А \ / j Лт N I 1 \ jt /1*1 1 1 N ,2V А^
А^ ч
...~Нк (/ -от г) (/ - т% 1) Ф (п I niitn8..п I т%
ATOM
185
Результаты действия оператора Sx - iSy аналогичны, только вместо щ
понижаются на 1 значения ms.
Если волновая функция является собственной функцией четырех коммутирующих
операторов S2, L2, Sz, Lz, то действие операторов (Lx- iLy) и (Sx- iSy)
сводится к следующему:
(Lx^iLy)<S>{SLMsML) =
= V{L+Ml) (L -М?+ 1) Ф (SLMsMl (Sx - iS y)t>(SLMsML) =
= /(S + Ms)(S - Ms+1) Ф - 1ML).
1).
(1)
После этих предварительных замечаний приступим непосредственно к решению
нашей задачи.
В рассматриваемом случае мы имеем дело с эквивалентными электронами,
поэтому квантовые числа til можно везде опустить. Значение проекции
спинового момента будем иногда указывать посредством индексов (dr),
расположенных над щ.
Приведем для конфигурации ръ классификацию состояний по Ms и Ml
