Квантовая физика. Водный курс - Гольдин Л.Л.
Скачать (прямая ссылка):
вполне одинаковы. В точности одинаковы и спектры, испускаемые атомами
одного и того же сорта (например, атомами водорода или атомами гелия и
т.д.).
§8. Уравнение Шредингера
Перейдем к изучению изолированных физических систем, т. е. систем,
настолько слабо связанных с окружающим миром, что этой связью можно вовсе
пренебречь. Как известно, у таких систем сохраняется энергия. Их
состояния, следовательно, описываются ^-функциями, удовлетворяющими
(2.28), в котором в качестве / фигурирует оператор полной энергии
системы. Подставляя в (2.28) значение оператора полной энергии (2.23),
находим
Это уравнение играет важнейшую роль в квантовой физике и носит название
уравнения Шр едингера для стационарных состояний (стационарными в
квантовой механике называются состояния с неизменной энергией).
Уравнение (2.30) может быть записано в более компактном виде, если для
оператора д2/дх2 + д2/ду2 + d2/dz2, называемого обычно оператором
Лапласа, ввести общепринятое обозначение А:
_21
dz2
+ иф = Е0ф.
(2.30)
\Qx
^Аф + иф = Е0ф.
(2.31)
§8. Уравнение Шредингера
55
Физический смысл имеют лишь конечные, однозначные, непрерывные и гладкие
решения этого уравнения1.
В отличие от уравнений Ньютона уравнение Шредингера является не просто
дифференциальным уравнением, а дифференциальным уравнением в частных
производных. Такие уравнения аналитически решаются крайне редко. Поэтому
в квантовой физике существует очень узкий круг задач, решаемых в
аналитическом виде до конца. Однако можно научиться оценивать результат и
в тех случаях, когда точное решение не может быть получено из-за
сложности уравнения. Для этого в следующей главе будут проведены
исследования общих свойств решений уравнения Шредингера на простых
примерах, когда такие решения можно получить и проанализировать
полностью.
В заключение отметим, что уравнение Шредингера для стационарных состояний
является частным случаем более общего уравнения Шредингера, описывающего
поведение любых нерелятивистских систем:
= ЯФ. (2.32)
at
Обсуждение этого уравнения выходит за рамки книги. Уравнение (2.30)
получается из общего уравнения Шредингера, если гамильтониан Н явно не
зависит от времени. В этом случае волновая функция Ф может быть
представлена в виде произведения функции ф(х, у, z), зависящей только от
координат, и функции (p(t), зависящей только от времени, так что
Ф(t, X, у, Z) = ф(х, у, z)<p(t).
Подставляя это выражение в (2.32) и деля обо части полученного уравнения
на Ф(?, ж, у, z), найдем
Ж d<p _ 1 ~
Левая часть этого уравнения зависит только от времени, а правая - только
от координат. Они не зависят, следовательно, ни от координат, ни от
времени и равны некоторой константе. Обозначив эту константу через Е,
найдем
= Ер, Нф = Еф.
Первое из приведенных уравнений приводит к уже известной зависимости
волновой функции от времени
(p(t) = exp
а второе совпадает с уравнением Шредингера для стационарных состояний, т.
е. с (2.30).
исключениях из этого правила см. текст после формулы (3.8).
Глава 3
ЧАСТИЦА В ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЕ. КВАНТОВАНИЕ ЭНЕРГИИ. ТУННЕЛЬНЫЙ ЭФФЕКТ
§ 9. Прямоугольная потенциальная яма. Принцип соответствия
Рассмотрим случай, когда потенциальная энергия частицы U(x) равна нулю на
отрезке 0 < х < а, обращается в бесконечность при х < О и равна некоторой
положительной величине U при х > а (рис. 19)1. Если полная энергия
частицы Е < U, то говорят, что частица находится в "потенциальной яме".
Рассмотрим вначале, как будут себя вести в такой яме классические
частицы. На отрезке 0 < х < а они движутся с постоянной кинетической
энергией и, следовательно, с постоянной скоростью. Энергия частиц в яме
может иметь любое значение. При 0 < Е < U частицы не могут выйти за край
ямы, потому что вне ямы потенциальная энергия больше полной и
кинетическая энергия должна была бы иметь отрицательное значение, что
невозможно. Подойдя к краю ямы, частицы "отражаются" от стенки и движутся
в противоположную сторону, там снова отражаются и т.д. Таким образом,
частицы, подчиняющиеся классической физике, отсутствуют вне потенциальной
ямы и могут быть с равной вероятностью найдены в любом месте ямы.
Частицы, подчиняющиеся квантовой механике, ведут себя существенно иначе.
Основные особенности движения могут быть поняты без расчетов. Мы уже
знаем, что ^-функция частицы должна быть непрерывной и гладкой. Поэтому
^-функция не может "оборваться" у правой стенки и должна продолжаться за
ней2, хотя за краем ямы полная
*Для простоты мы рассматриваем одномерную задачу.
20 том, как ведет себя ^-функция при обращении потенциальной энергии в
бесконечность, мы поведем речь ниже. После этого можно будет обсуждать
поведение ^-функции у левой стенки.
§9. Прямоугольная потенциальная яма. Принцип соответствия 57
энергия меньше потенциальной. Следует ожидать, что этот заход в запретную
с классической точки зрения область будет тем меньше, чем тяжелее
частицы, так как очень крупные, "классические" частицы в области с Е < U
