Квантовая физика. Водный курс - Гольдин Л.Л.
Скачать (прямая ссылка):
задаче проверить, имеет ли интересующая нас физическая величина некоторое
распределение или является числом. Для этого достаточно сравнить (х2) и
(х)2.
§ 7. Собственные состояния
Среди задач о нахождении ^-функций частиц в различных состояниях особенно
важна задача о состояниях, в которых какая-нибудь, величина имеет вполне
определенное значение. Такие состояния принято называть собственными
состояниями этой физической величины. Мы пока встречались с единственной
^-функцией такого ро-
х = (х) + Ах.
(.х2) = (х)2 + ((Ах)2).
(2.27)
да - с волной де Бройля вида
описывающей состояние,
52
Глава 2
при котором проекция импульса на ось х имеет единственное значение,
равное рш.
Одним из основных утверждений квантовой механики является утверждение,
что состояние, в котором физическая величина / имеет определенное
значение fo, описывается ф-функцией, являющейся решением уравнения
№ = М, (2-28)
где / - оператор физической величины /.
Покажем, что формула (2.28) правильно решает поставленную задачу. Найдем
среднее значение / в состоянии, которое описывается ^-функцией,
удовлетворяющей (2.28),
(/) = J tp*fydV = J rMdV = /о У ip*^dV = /0. (2.29)
При вычислении (/) мы заменили в подынтегральном выражении /ф на /оф в
соответствии с (2.28) и воспользовались условием нормировки ^-функций
(1.35).
Найдем теперь среднее значение /2. По общему правилу нахождения
операторов заключаем, что оператор /2 равен
/2 = (/2) = II
Дважды используя (2.28), найдем
</2> = J Ф*рФс1У = J rJji,av = J ф*//0ф<1У =
= foj rhdV = fo j ф*/офМ = /о2 j ri>dV = /2. Итак, в нашем случае
(/2) = </>2 = /о2.
Как отмечалось в конце предыдущего параграфа, такое равенство возможно
лишь в том случае, если величина / не имеет распределения, а принимает
одно-единственное значение. Из (2.29) следует, что это значение равно /о.
Таким образом, ^-функции, являющиеся решениями уравнений (2.28),
действительно описывают собственные состояния.
§ 7. Собственные состояния
53
Уравнения типа (2.28), вообще говоря, являются уравнениями в частных
производных. Математика учит, что для однозначного решения таких
уравнений нужны дополнительные ограничения, например граничные и
начальные условия. Условия, которые накладывает квантовая механика на
решения уравнений (2.28), имеют несколько другой характер: физический
смысл могут иметь лишь решения всюду конечные, однозначные, непрерывные и
гладкие.
В качестве примера с помощью (2.28) найдем ^-функцию состояния, в котором
проекция импульса рх имеет определенное значение рш. Подставляя в (2.28)
в качестве оператора / оператор проекции импульса получим я ,
Этому уравнению (и всем необходимым условиям!) удовлетворяет функция
являющаяся хорошо известной плоской волной.
Выясним теперь, какая связь существует между операторами физических
величин и числовыми значениями этих величин, наблюдаемыми на опыте.
Произведем опыт по измерению какой-либо физической величины /. В
результате опыта возникает некоторое число - измеренное значение величины
/. Пусть при измерении обнаружилось, что / имеет значение /о. Это не
означает, что до опыта значение величины / равнялось /о; эта величина
могла иметь, некоторое распределение, из которого эксперимент выбрал
найденное значение /о. Поскольку, однако, это значение найдено, состояние
системы после опыта описывается ^-функцией с определенным значением /, т.
е. функцией, являющейся решением уравнения /ф = /оф. Мы можем поэтому
утверждать, что на опыте могут быть найдены лишь такие значения /о
величины /, при которых (2.28) имеет решения, удовлетворяющие
сформулированным выше требованиям.
Функции, являющиеся решением уравнения (2.28) и удовлетворяющие условиям
конечности, непрерывности, однозначности и гладкости, называются
собственными функциями оператора /; те значения /о, при которых такие
решения существуют, называются собственными значениями физической
величины /. Таким образом, набор собственных значений для оператора /
определяет значения f0, которые могут быть найдены из опыта при измерении
физической величины /.
54
Глава 2
При исследовании (2.28) нередко оказывается, что конечные, однозначные,
непрерывные и гладкие решения могут быть найдены не при всех, а лишь при
некоторых дискретных значениях /о. Набор собственных значений физической
величины иногда оказывается непрерывным, а иногда дискретным: /оь /02,
/оз? • • • Опыт показывает, что в таких случаях измеренные значения /
действительно оказываются дискретными и совпадают с собственными
значениями /о*. Хорошим примером дискретности в микромире являются
оптические спектры атомов, которые состоят из ряда отдельных тонких
линий.
Существенным различием макромира и микромира является то, что в макромире
все объекты одного сорта различны, а в микромире - одинаковы. В самом
деле, все дома различны, все люди разные, не бывает двух в точности
одинаковых песчинок и т. д. И наоборот: опыт свидетельствует, что все
электроны одинаковы, все протоны одинаковы и все атомы одного сорта тоже
