Квантовая физика. Водный курс - Гольдин Л.Л.
Скачать (прямая ссылка):
дейтрон не имеет возбужденных состояний1.
Исследуем поведение ^-функции внутри потенциальной ямы. Для бесконечно
глубокой ямы
к\ = 7г/а, ф(х) = Asin(irx/a) при п = 1,
к\ = 27г/а, ф{х) = Asin(27nr/a) при п = 2,
fci = 37г/а, = Asin(37nr/a) при п = 3.
Графики этих функций изображены на рис. 20. Ограничимся решениями,
приведенными на рис. 20. При возрастающих значениях п решения испытывают
все более быстрые колебания и много раз обращаются в нуль. Таким образом,
пространство, в котором движется частица, оказывается разбитым нулями ^-
функции на ряд отдельных областей.
/А"=1 1 Жх)\2 /¦ч
/ \ . /\"!
а х
А а х А А
\ /а х ДА":
а х
А Г\п = 3
А А , ААА "=3
\ / а х / \/ \/ \
\J а х
Рис. 20. ^-функция частицы в бес- Рис. 21. Распределение частицы
конечно глубокой потенциальной в бесконечно глубокой потенциаль-
яме. ной яме.
Вероятность найти частицу в окрестности любой точки пропорци-
¦ 12 I 12
ональна \ф(х)\ . На рис. 21 приведены графики для \ф(х)\ при п =
1 Более подробно эти вопросы рассматриваются в гл. 14.
64
Глава 3
= 1, 2, 3. Мы видим, что в низшем энергетическом состоянии (п = 1) с
наибольшей вероятностью частицу можно найти посередине ямы; вероятность
нахождения частицы вблизи краев ямы равна нулю. Такое поведение частицы
резко отличается от поведения "классической" частицы, которое мы
обсуждали в начале параграфа.
Заметим, что минимальное значение, которое может иметь энергия частиц в
яме, т. е, значение энергии при п = 1, отлично от нуля:
2та
В классической физике частица может "лежать" на дне ямы. В квантовой
физике это невозможно. И это можно было предсказать заранее, до решения
задачи. Ведь помещая частицу в яму, мы тем самым ограничили область
возможных значений ее координаты; у такой частицы в силу принципа
неопределенности должен существовать разброс по импульсам, а
следовательно, и отличная от нуля энергия.
Попробуем определить эту энергию по порядку величины без точного решения
- на основании принципа неопределенности. Неопределенность положения
частицы в нашем случае равна а. Поэтому Ах " а. Согласно соотношению
неопределенностей (1.33)
л ^ 2тгН ^ 2тгН ~Ах '
Мы уже выяснили (2.27), что (р2) = (р)2 + ((Ар)2). В нашем случае
положительные и отрицательные р равновероятны, так что (р) = 0. Поэтому
Е = р_ = fJAtf) и 4^_Н2 =
2т 2т 2 та та
Сравнивая полученное выражение с Е\, убеждаемся в том, что мы нашли
правильный по порядку величины результат.
Вернемся к рис. 21. Видно, что с увеличением энергии (т. е. с ростом
I 12
квантового числа и) максимумы кривой г0(ж) располагаются все ближе и
ближе; при очень больших значениях максимумы и минимумы следуют друг за
другом так быстро, что при не очень точных опытах (практически при любых
опытах с макроскопическими телами) картина "сливается" и представляется
равномерным распределением, известным из классики.
Оценим расстояние между уровнями. Для этого возьмем логарифмическую
производную от равенства (3.13):
АЕп _ 2 Ап _ 2 Еп 2 -п-
§9. Прямоугольная потенциальная яма. Принцип соответствия 65
Из полученного равенства видно, что расстояние между энергетическими
уровнями, отнесенное к величине энергии, уменьшается с увеличением п и
для очень больших п так мало, что распределение разрешенных значений
энергии оказывается практически непрерывным.
Мы уже ввели ранее критерий, при выполнении которого достаточную точность
дает классическая физика, и применять формулы квантовой механики не
обязательно. Этот критерий был записан в виде L А. Смысл его заключается
в том, что при длинах волн, много меньших размеров системы, в которой
движется частица, квантовомеханические особенности частиц оказываются
несущественными. В рассмотренной задаче действует, вообще говоря, этот же
самый критерий. В самом деле, с увеличением энергии (числа п) длина волны
А уменьшается, и при тех же размерах системы (в нашем случае -
потенциальной ямы) критерий применимости классической физики выполняется
все лучше. При больших квантовых числах, как мы видели, частицы начинают
вести себя совсем "по-классически". С увеличением размеров системы (с
увеличением ширины потенциальной ямы) "квантовомеханическая частица" при
все меньшей энергии превращается в "классическую частицу". В этом легко
убедиться, решая конкретные примеры с различными значениями ширины ямы а.
Таким образом, при определенных условиях (при больших п) квантовая физика
переходит в классическую физику; поведение частиц при выполнении этого
условия все более утрачивает особенности, характерные для микрочастиц.
Этот результат является частным случаем общего физического принципа -
принципа соответствия. Согласно этому принципу любая новая теория,
претендующая на большую общность, чем общепринятая теория, обязательно
должна переходить в старую, классическую теорию в тех условиях, в которых
"старая физика" была построена и проверена на опыте. Квантовая механика,
как мы видим, принципу соответствия удовлетворяет.
