Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гольдин Л.Л. -> "Квантовая физика. Водный курс" -> 22

Квантовая физика. Водный курс - Гольдин Л.Л.

Гольдин Л.Л., Новиков Г.И. Квантовая физика. Водный курс — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 496 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayafizikavvodniykurs2002.pdf
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 190 >> Следующая

значения принято называть уровнями энергии
Для бесконечно глубокой ямы вычисление положения уровней, как мы видели,
легко доводится до конца в общем виде. В произвольном случае положение
уровней вычисляется с помощью уравнений типа (3.11), которые проще всего
решать графически.
Выясним причину, по которой возникает квантование энергии. Решения
уравнения Шредингера в отдельных областях пространства, приведшие к
(3.10), сами по себе к квантованию энергии не приводят. Квантование
возникло из-за того, что мы сшивали волновые функции на границе областей,
в которых решение описывается существенно различными функциями:
тригонометрической и экспоненциальной.
Существует общая теорема квантовой механики, в которой доказывается, что
энергия всегда квантуется у систем, которые не могут уходить на
бесконечность, и не квантуется у систем, способных уходить на
бесконечность. Таким образом, если частица в яме "не заперта", т. е. при
Е > U, квантование энергии не возникает.
К этому результату в рассматриваемом случае можно придти и путем точного
решения задачи. При Е > U вместо (3.4) введем обозначения
Решение первого уравнения имеет вид, аналогичный первому из равенств
(3.10):
(3.14)
и вместо (3.5) найдем
(3.15)
<Р! = A' sinfax) = 1^(е^1Х - е~Ы1Х),
(3.16)
§9. Прямоугольная потенциальная яма. Принцип соответствия 61 а решением
второго является функция1
<р2 = В'еЫ2Х - С'е~Ы2Х. (3.17)
Сошьем решения ^ и ^ в точке а. Приравнивая = cf2(а),
найдем
jr(et>cia - e~l>(ia) = В'еЫ2а - С'е~Ы2а. (3.18)
Приравнивая производные, получим
|^ixi(e<Xl0 + е~Ы1а) = ix2{B'еЫ2а + C'e~iX2a). (3.19)
Уравнения (3.18) и (3.19) позволяют найти В' и С' через А'. Амплитуду
одной из волн, например А', следует считать заданной. Как нетрудно
убедиться,
в, = *Le-i*-{e-g + 1} + е-(g _ l) },
С" = §<^a{eixia (g - l) +е-(J + l)}.
Решение может быть найдено при любых действительных значениях и т. е. при
любом Е > U.
Решения (3.16) и (3.17) проще всего интерпретировать, начиная с функции
(f2- Эта функция представляет собой сумму двух волн де Бройля: волны
ехр(-i^x), движущейся справа налево, и волны ехр(г^2^), движущейся слева
направо. Пришедшая из +оо волна частично отражается и преломляется на
границе х = а потенциальной ямы (^2 меняется на ж\), отражается от
стенки, расположенной при х = = 0 (к члену, содержащему ехр(-гк\х),
прибавляется член с ехр(гх2#), снова преломляется на границе х = а и
уходит в бесконечность.
В рассматриваемом простом случае особенно ясно видна причина, приводящая
к квантованию энергии при Е < U. При Е > U сшивка функций приводит к двум
уравнениям для двух неизвестных коэффициентов В' и С'. Эти уравнения
всегда имеют решения. При Е < U мы вынуждены были положить в уравнении
(3.6) В = 0. Поэтому сшивание
1 Можно было бы записать это решение в виде (?2 = D sin(^2#-|-$), однако
приведенное в тексте выражение, как будет видно из дальнейшего, имеет
более простой физический смысл.
62
Глава 3
решений привело к двум уравнениям, с помощью которых нужно было найти
всего один коэффициент С. А это возможно не при всех, а лишь при
некоторых, характерных для рассматриваемого случая, значениях энергии.
Вернемся к обсуждению формулы (3.11). Разделив эту формулу на fci,
получим
i4{kia) = ~h
В правой части этой формулы стоит существенно отрицательная величина (о
выборе знака кч см. текст после формулы (3.6)). Чтобы левая часть
равенства также была отрицательной, необходимо, чтобы к\а лежало в
областях
7г/2 < к\а < 7г, Зтг/2 < к\а < 27т и т.д.
Во всяком случае, необходимо, чтобы выполнялось условие к\а > тг/2.
Возведя это неравенство в квадрат и заменяя к2 через Е с помощью (3.4),
найдем
2тЕ-а? > 4, или Е>^
h2 4 ' 8та2
Вспомним теперь, что стационарные уровни возникают лишь в том случае,
если Е < U. Поэтому уровни в потенциальной яме рассматриваемого вида
возникают лишь при условии, что
Ua> > ^
8га
В левой части этого неравенства стоят параметры потенциальной ямы, а в
правой - только постоянные числа и универсальные постоянные. Если
полученное нами условие не выполнено (потенциальная яма слишком узкая или
слишком мелкая), в ней не помещается ни одного энергетического уровня.
Такие случаи встречаются не так уж редко. Силы взаимодействия между двумя
нейтронами являются силами притяжения, однако ядра, состоящего из двух
нейтронов, в природе не существует. Аналогичным образом не существует и
ядра, состоящего из двух протонов. В обоих случаях потенциальная яма сил
притяжения недостаточно глубока для образования связанного состояния.
Сила притяжения между нейтроном и протоном не намного больше сил,
действующих между двумя нейтронами или двумя протонами. Этого небольшого
различия, однако, достаточно для того, чтобы у уравнения Шредингера
появилось
§9. Прямоугольная потенциальная яма. Принцип соответствия 63
одно решение. Соответствующее связанное состояние нейтрона и протона
называется дейтроном. Поскольку в этом случае имеется всего одно решение,
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 190 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed