Квантовая физика. Водный курс - Гольдин Л.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Перейдем к яме с конечной высотой стенки. Как следует из (3.10), в
области II решение не равно пулю и имеет вид спадающей экспоненты. Это
означает, что частица может заходить в область, где Е < U, но, как и
следует ожидать исходя из принципа соответствия, вероятность нахождения в
этой области тем меньше, чем дальше мы отойдем от края ямы. В
классической физике частица вовсе не может заходить в области с Е < U,
так как при этом кинетическая энергия частицы оказалась бы отрицательной.
В квантовой механике, как мы видим, такая ситуация возможна. Объясняется
это тем, что равенство Е = Т + U в квантовой механике нельзя понимать как
численное равенство. В квантовой механике это равенство справедливо для
операторов Е = Т + U и для
66
Глава 3
средних значений (Е) = (Т) + (U). Численное равенство Е = Т + U для
мгновенных значений Т и U в микромире невозможно уже потому, что оно
бессмысленно: как мы уже отмечали, потенциальная и кинетическая энергия в
силу принципа неопределенности не могут одновременно принимать
определенные значения. В самом деле, потенциальная энергия зависит от
координат, а кинетическая - от импульса частицы. Поэтому не следует
удивляться тому, что в некоторых точках пространства полная энергия
оказывается меньше потенциальной.
Рассмотрим обсуждаемый вопрос еще с одной точки зрения. В области II
волновая функция пропорциональна экспоненте е~к2Х, где &2 = = д/2m(U -
Е)/Н. Вероятность нахождения частицы в запретной зоне быстро падает с
увеличением х. При значении х = 1/&2 волновая функция уменьшается в е
раз, а вероятность найти частицу на таком расстоянии от границы ямы
уменьшается в е2 раз, т. е. почти на порядок. Примем значение х = 1/&2 за
меру неопределенности положения частицы в запретной зоне и обозначим ее
Ах:
Ах " Н/д/2m(U - Е).
В этом выражении под корнем стоит "нехватка" энергии U - Е. Если бы под
корнем стоял нуль, то частица могла бы сколь угодно далеко заходить в
запретные области.
Величина д/2mn(U - Е) имеет размерность импульса и может
интерпретироваться как "нехватка" импульса 5р. Следовательно,
5р = Н/ Ах.
Мы знаем, что неопределенность импульса выражается приближенным
равенством
Ар " 2ттН/Ах.
Таким образом, "нехватка" импульса, как и следовало ожидать, по порядку
величины равна его неопределенности.
§ 10. Потенциальный барьер. Туннельный эффект
Проникновение частиц в область, где потенциальная энергия оказывается
больше полной, может проявляться в ряде важных физических явлений.
Рассмотрим потенциальную яму, изображенную на рис. 22. Этот случай
отличается от случая, изображенного на рис. 19, тем, что область, в
которой потенциальная энергия отлична от нуля, занимает не все
полупространство х > а, а узкую область от а до Ъ. Область
§10. Потенциальный барьер. Туннельный эффект
67
а < х < Ъ, где Е < U, называют в этом случае потенциальным барьером.
Запрем в начале опыта серию частиц в области 0 < х < а. Экспоненциально
падающее решение (3.10) в точке b будет мало, но все-та-ки отлично от
нуля. Наши частицы смогут поэтому проникнуть в область III, расположенную
за потенциальным барьером, и уйти из потенциальной ямы. Попавшие в
область III частицы беспрепятственно уходят в сторону больших х и обратно
не возвращаются. Соответствующая ^-функция имеет вид бегущей (уходящей)
волны. Через достаточно большой промежуток времени все частицы уйдут из
области 0 < х < а.
Просачивание частиц сквозь потенциальный барьер носит название
туннельного эффекта.
Как ясно из предыдущего, задача о проникновении частиц сквозь
потенциальный барьер является примером из квантовой механики
нестационарных систем (систем, состояние которых зависит от времени).
Рассмотрение таких задач, вообще говоря, выходит за рамки этой книги.
Формула (3.10), однако, позволяет сделать важную оценку, основанную на
том, что туннельный эффект происходит медленно, и задача о проникновении
частиц сквозь потенциальный барьер является "почти стационарной", так что
без большой погрешности для расчета можно применять (3.10). ^-функция
частиц за потенциальным барьером отличается от ^-функции перед барьером
множителем e~kl^b~a\ Вероятность нахождения частицы определяется
квадратом волновой функции. Плотность частиц за барьером поэтому
отличается от плотности частиц до барьера множителем D.
D = е-2к2{ь~а) = ехр[-2(6 - a)^2m(U - E)/h2\. (3.20)
Величина D называется проницаемостью барьера.
Важным примером прохождения частиц сквозь потенциальный барьер является
а-распад радиоактивных ядер. При а-распаде материнское ядро испускает а-
частицу, состоящую из двух протонов и двух нейтронов и превращается в
дочернее ядро. На рис. 23 изображен график потенциальной энергии
взаимодействия а-частицы с дочерним ядром. При
1Как ясно из вывода, формула (3.20) справедлива только для "почти
стационарных" решений, т. е. при D < 1.
Рис. 22. Потенциальный барьер.
68
Глава 3
больших расстояниях между ядром и а-частицей их взаимодействие с хорошей
