Квантовая физика. Водный курс - Гольдин Л.Л.
Скачать (прямая ссылка):
точностью описывается законом Кулона
Uu(r) = Ze • ze/r,
(3.21)
где Ze - заряд дочернего ядра, ze - заряд а-частицы (z = 2). Этот участок
кривой обозначен на рис. 23 римской цифрой II. При малых расстояниях
между дочерним ядром и а-частицей начинают сказываться короткодействующие
силы притяжения - ядерные силы. Поэтому при малых расстояниях
потенциальная энергия меняет знак и становится отрицательной. Зависимость
ядерных сил от расстояния плохо известна. Сколько-нибудь точно
восстановить форму потенциальной ямы в области I не удается. К счастью,
результат расчета не очень к этому чувствителен, так что в области I яму
просто считают прямоугольной. Ширина прямоугольной ямы близка к размерам
ядра. Для тяжелых элементов, расположенных в конце периодической системы,
радиус ядра г а по порядку величины равен 10-12 см.
Рассмотрим в качестве примера а-распад 210Ро. Заряд ядра полония равен
84е. Полоний испускает а-частицы с энергией 5,30 МэВ; его период
полураспада равен 138 дням. Дочернее ядро 206РЬ имеет заряд, равный 82е.
Вычислим высоту потенциального барьера - значение потенциальной энергии в
точке А (рис. 23). С помощью (3.21) найдем
Рис. 23. Потенциальный барьер для а-частицы в ядре.
UА =
Ze • 2е 82-2(4,8-Ю-10)2
ГА
10
-12
= 3,7- 10"5 эрг " 23 МэВ.
Мы видим, что энергия а-частиц существенно меньше высоты барьера, так что
а-распад возможен только в результате туннельного эффекта.
Формула (3.20) описывает вероятность прохождения частиц под прямоугольным
барьером, в то время как форма барьера при а-распаде скорее
"треугольная", чем прямоугольная. Выражение для прозрачности барьера
произвольной формы в общем виде получить не удается. Приближенное же
значение для проницаемости барьера можно получить, заменяя истинную форму
барьера суммой прямоугольных участков, как это показано на рис. 23.
Полная картина прохождения частицы сквозь
§11. Линейный гармонический осциллятор
69
такой барьер складывается из ослабления волновой функции при движении на
отдельных участках и из последовательных отражений от границ участков.
Если барьер достаточно плавен (его высота мало меняется на расстоянии,
равном длине волны), отражения не очень существенны, и ослабление
волновой функции в основном определяется ее затуханием при движении в
областях с Е < U. В этом случае проницаемость всего барьера D равна
произведению проницаемости D, соответствующих участков. При перемножении
показатели экспонент складываются, так что
D = ехр ^-2 A Ti
i
гв
-" exp ^-2 J
rA
Оценка показателя экспоненты в формуле (3.22) дает значение, близкое к
60. Таким образом, проницаемость кулоновского барьера для а-рас-пада
оказывается очень малой, а периоды полураспада радиоактивных ядер,
которые обратно пропорциональны коэффициентам прозрачности, наоборот,
очень велики.
]Jj^\U(r)-E\dry (3.22)
§ 11. Линейный гармонический осциллятор. Колебательные уровни молекул
^wwhQh/wvvJ
На рис. 24 изображен классический гармонический осциллятор,
представляющий собой шарик с массой га, прикрепленный к пружине. Если мы
направим ось х вдоль оси пружины и за начало отсчета примем положение
равновесия шарика, то сила F, действующая на шарик, будет связана с
координатой х формулой
F = -кх,
где к - жесткость пружины. Потенциальная энергия шарика
и - кх2/2.
Рис. 24. Модель гармонического осциллятора.
(3.23)
(3.24)
Будучи выведенным из состояния равновесия, такой шарик совершает
гармонические колебания с частотой
coo = y'к/т.
(3.25)
70
Глава 3
Из (3.24) видно, что потенциальная кривая гармонического осциллятора
является параболой (рис. 25). Поэтому задача о гармоническом осцилляторе
- это задача о поведении частицы в потенциальной яме параболической
формы.
К задаче об осцилляторе всегда сводятся задачи о малых колебаниях. В
точке равновесия потенциальная энергия имеет минимум. Разложение
потенциальной энергии в ряд Тейлора в окрестности точки равновесия
начинается поэтому с квадратичных членов. При малых отклонениях всеми
остальными членами можно пренебречь и колебания можно считать
гармоническими.
В атомной физике к осциллятору сводится задача о колебаниях молекул и
многие другие важные задачи. При решении таких задач следует, конечно,
применять не классическую, а квантовую механику.
Для решения задачи о квантовомеханическом осцилляторе необходимо найти
конечное, однозначное, непрерывное и гладкое решение уравнения Шредингера
при U = кх2/2, т. е. урав-
Рис. 25. Уровни энергии и разрешенные переходы для гармонического
осциллятора.
нения
П2 к 2 , см
¦2^^ + 2Xi' = E*-
(3.26)
Используя полученные выше выводы, мы можем предсказать, что решение будет
удовлетворять всем необходимым условиям не при всех, а лишь при некоторых
дискретных значениях энергии осциллятора, так как при удалении от
положения равновесия потенциальная энергия быстро возрастает и
колеблющаяся частица не может "уйти на бесконечность". Точное решение
уравнения (3.26) приводит к следующему выражению для спектра возможных
