Квантовая физика. Водный курс - Гольдин Л.Л.
Скачать (прямая ссылка):
ехр( -i^x) и проинтегрировать его затем по х от -А л/2А \ к J
до +А. В правой части уравнения все члены суммы с га 7^ п обратятся в
нуль вследствие периодичности функции ехр^г^т ^ Рп x^j Член с га = = п
равен 2АСп. Поэтому
1
л/2А
-А
J ф(х) exp^-^~~jrx^j dx. (2.10)
Приведем без доказательства известную из теории рядов Фурье т е орему
полноты:
л
оо
?
т= - оо
\Ст\2 = J\ф(х)\2 dx = 1. (2.11)
-А
1 Можно, например, считать, что размер ящика 2А является периодом функции
ф(х).
Поскольку края ящика отодвинуты достаточно далеко, никакие предположения
о поведении функции за ящиком на результатах опыта не сказываются.
§6. Операторы
45
Как уже отмечалось, коэффициенты Ст определяют вес, с которым
присутствуют в ^-функции различные волны де Бройля, т. е. состояния с
определенным импульсом. Формула (2.11) показывает, что смысл вероятности
имеют не сами Сш, а квадраты их модуля, так как только в этом случае
сумма вероятностей иметь все возможные импульсы обращается в единицу.
Среднее значение импульса равно поэтому
(рх) = '^С*тртСт. (2.12)
т
Хотя формула (2.12) и дает однозначное правило определения {рх), она
крайне неудобна для вычислений, так как требует нахождения всех Сш (по
формуле (2.10)) и вычисления бесконечной суммы (2.12). В
теории
рядов Фурье показывается, что формула (2.12) может быть приведена
к простому виду:
{рх) = J (2.13)
Доказательство этой формулы приведено в Приложении I.
§ 6. Операторы
Формула (2.13) позволяет решить задачу о нахождении среднего значения
импульса без разложения в ряд Фурье непосредственно по функции ф(х). Этой
формуле может быть придан вид, аналогичный (2.5):
(Рх) = J Ф* (%)РхФ(%) dx. (2.14)
В (2.14) входит оператор проекции импульса на ось х
Рх = -ih(2.15)
Проверим формулу (2.14) для "обыкновенной" волны де Бройля
(2.16)
46
Глава 2
нормированной в ящике -А < х < А. Среднее значение импульса в этом случае
известно заранее, поскольку написанная волна определяет состояние с
вполне определенным значением импульса - значением, равным рт.
По формуле (2.14) имеем
Мы видим, что формула (2.14) действительно быстро приводит к правильному
ответу.
Общее утверждение квантовой механики заключается в том, что среднее
значение любой физической величины / находится по формуле
где / - оператор физической величины /.
Мы уже установили вид / для х и любой функции от х. Сравнение (2.4) и
(2.5) с (2.17) показывает, что оператор х приводит к простому
нашли также оператор р(х). Он определяется формулой (2.15). В этой связи
нужно только отметить, что для простоты изложения до сих пор формулы
писались так, как если бы ^-функция всегда зависела от одной координаты
х. В общем случае в расчет следует принимать все три пространственные
координаты, так что вместо (2.17) нужно писать
А
-А
А
f 1 ( -Pm \ { .kd\ 1 (-Pm \i
/ ,__exp -1--Х -m-- t exp i--x )dx =
J VIA V b A dx)y/2A V h J
-A
A A
-A
-A
(2.17)
умножению на x, а оператор f(x) - к умножению на функцию f(x). Мы
</>
///
ф*{х, У- z) f(x, у, г)ф(х, у, z) dxdydz,
§6. Операторы
47
или
(/) = IJI rhdV,
(2.18)
где dV - элемент объема.
Операторы трех проекций импульса можно написать по аналогии
где V - оператор градиента. Операторы х и р являются основными
операторами квантовой механики. Укажем правило, позволяющее находить
операторы всех других физических величин. В декартовой системе координат
формулы, которые классическая физика выводит для связи между числовыми
значениями физических величин, в квантовой механике следует рассматривать
как формулы, связывающие операторы этих величин. Так, например, связь
между кинетической энергией и импульсом в обычной механике определяется
формулой
Определенный формулой (2.22) оператор Т может быть использован для
нахождения среднего значения кинетической энергии по формуле (2.18) или
(2.17), если известна ^-функция частицы. Рассмотрим,
няющуюся вдоль оси х. Так как ^-функция в этом случае не зависит от
координат у и z, нет нужды прибегать к (2.18) и можно применить для
с (2.15):
(2.19)
или в векторной форме:
(2.20)
гт1 Р 1 / 2 I 2 I 2\ Г=2^ = 2n^+Pv+P*)-
(2.21)
Оператор кинетической энергии равен поэтому
т. е.
(2.22)
например, волну де Бройля (2.16) ф(х) = ___ехр (г-^ям, распростра
\Г2А \ п J
48
Глава 2
вычисления (Т) формулу (2.17). Замечая, что дифференцирование по у и z
обращает ^-функцию в нуль, получим
ж =
(Т) = J ф*(х)Тф(х)йа
= Ш /ежр(-гТх)(~шШтр^Тх)Лх = ШМ =
-А -А
как и должно быть. Конечно, такой простой результат возникает не всегда.
Он получился здесь потому, что в состоянии, описываемом простой волной де
Бройля, импульс и кинетическая энергия имеют вполне определенные
значения. Средние значения этих величин совпадают с этим единственным
значением.
Покажем, что для достаточно крупных, классических объектов
сформулированное правило вычисления операторов обеспечивает выполнение
обычных законов классической механики.
Для крупных объектов неопределенности координат и импульсов оказываются
