Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гольдин Л.Л. -> "Квантовая физика. Водный курс" -> 16

Квантовая физика. Водный курс - Гольдин Л.Л.

Гольдин Л.Л., Новиков Г.И. Квантовая физика. Водный курс — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 496 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayafizikavvodniykurs2002.pdf
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 190 >> Следующая

образом, задание ^-функции полностью определяет не только положение
частицы, но и все ее динамические характеристики. Задача об определении и
правильном истолковании ^-функции является поэтому основной проблемой
квантовой теории. К решению этой задачи мы и приступаем.
§ 5. Средние значения
Очень важным в физике микромира является понятие среднего значения
различных физических величин. Напомним читателю на простом примере, как
вычисляются средние значения. Рассмотрим N молекул, движущихся с
различными скоростями и, следовательно, с различными энергиями. Проще
всего определить среднюю энергию этих молекул, сложив энергии всех
молекул и разделив полученную сумму на число молекул:
N
(E) = jjY,E>- (2-1)
1=1
В этой формуле энергия i-и молекулы обозначена через Ei, а среднее
значение энергии, как это принято в квантовой механике, обозначено той же
буквой, что и сама энергия, и заключено в угловые скобки.
42
Глава 2
Другой способ вычисления средней энергии заключается в следующем.
Подсчитаем Nk - число молекул, энергия которых заключена между Ek и Ek+1
(например, между 0,031 и 0,032 эВ). Произведем такой подсчет для всех
наблюдающихся значений энергии.
Сумма, стоящая в числителе (2.1), может быть выражена в виде
N
Ei = ^ NfcEfc i=1 к
(Эта формула в нашем случае не является вполне точной, так как непрерывно
меняющуюся энергию молекул мы заменили дискретным набором Ek. Однако при
достаточно мелком разбиении неточность может быть сделана сколь угодно
малой.)
Формула для определения средней энергии примет теперь вид
= = = (2-2) к к
Величина Nk/N, обозначенная через Pk, определяет долю молекул, энергия
которых лежит в к-м интервале, или, что то же самое, вероятность иметь
заданную энергию Ek (заметим, что сумма всех вероятностей Pk, как всегда,
равна единице).
При непрерывных распределениях вероятность попасть в бесконечно малый
интервал между Е и Е + dE зависит от выбранного значения Е и от ширины
интервала dE и обозначается поэтому P(E)dE. Функция Р(Е) определяет в
этом случае распределение молекул по энергии и носит название плотности
вероятности.
При непрерывных распределениях сумма (2.2) должна быть заменена
интегралом (Pk заменяется при этом на P(E)dE):
(2.3)
Интеграл (2.3) берется по всем возможным значениям Е. В общем случае,
когда ищется среднее значение какой-то величины х, плотность вероятности
соответственно обозначается Р(х). Формула (2.3) широко применяется в
науке и используется, например, в кинетической теории газов (р(Е)
задается при этом распределением Максвелла).
Перейдем теперь к задаче об определении среднего значения координаты х
для микрочастицы, обладающей волновой функцией ф(х). Квадрат модуля ^-
функции \ф(х)\2 является плотностью вероятности
(Е) = J EP(E)dE
§5. Средние значения
43
найти частицу в окрестности точки х. Саму ^-функцию часто называют
амплитудой вероятности. Такого математического термина, впрочем, не
существует. По аналогии с оптикой термин "амплитуда" применяется здесь
для того, чтобы подчеркнуть необходимость возведения ^-функции в квадрат
при вычислении вероятности.
Согласно (2.3) среднее значение координаты х следует вычислять по формуле
В формуле (2.4) \ф(х)\2 представлено в виде ф*(х)ф(х), где звездочка
означает комплексное сопряжение.
Повторяя проведенные рассуждения для вычисления среднего значения ж2, х3
и т.д., нетрудно убедиться, что
Научимся теперь вычислять среднее значение импульса (для простоты
рассмотрим одну из проекций импульса, например проекцию на ось х). По
формуле (2.3) найдем
где Р(рх) dpx определяет вероятность того, что импульс заключен между рх
и рх + dpx.
Мы уже знаем, что величина Р(рх) определяется функцией ф(х). Остается
выяснить вид этой зависимости. Для простоты будем считать, что система
(или частица, если речь идет об одной частице) находится не в бесконечном
пространстве -оо < х < оо, а в некотором огромном ящике -А < х < А. Если
размер ящика А достаточно велик, частица никогда "не узнает" о том, что
свобода ее передвижения ограничена стенками ящика, и на ее движении это
никак не скажется.
или, что то же,
(2.4)
и что вообще среднее значение любой функции f(x) равно
(2.5)
44 Глава 2
Если распределение частицы в ящике описывается волновой функцией ф(х), то
функция ф(х) должна удовлетворять условиям нормировки: А
I =

(см. (1.35) и (1.36)). Разложим ф(х) в ряд Фурье:
J \ф(х)\2dx = 1 (2.7)
оо
Ф(х) = == (2.8)
у2А т__00
Коэффициенты Сш определяют, с каким весом присутствуют в ^-функции
различные волны де Бройля. В разложении (2.8) мы
применяем
волны де Бройля j_ ехр( i^x ), которые сами удовлетворяют
усла-
ла \ п J
вию нормировки (2.7). Как мы увидим впоследствии, такой выбор делает
физический смысл Сш особенно наглядным.
По известной теореме о рядах Фурье показатель экспоненты на длине ящика
должен изменяться на целое кратное от 27гг.1 Поэтому
Рт = ^т, (2.9)
где га - любое целое число.
Чтобы найти коэффициенты Сш, проще всего умножить уравнение (2.8) на ---
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 190 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed