Квантовая физика. Водный курс - Гольдин Л.Л.
Скачать (прямая ссылка):
говоря, заключается в том, что ^-функция частицы отлична от нуля лишь в
области от -а до а. Вид ф-функции между -а и а при этом может быть разным
и существенно определяется способом, который был принят для измерения
координаты. Поскольку все дальнейшие расчеты будут производиться лишь по
порядку величины, мы можем для простоты положить, что в этой области ^-
функция просто постоянна, как это, изображено на рис. 16 (такой вид имеет
^-функция, если измерять с помощью щели координату электрона, имевшего до
измерения определенный импульс, как это делалось, например, на рис. 14).
Определим фо, т. е. величину ^-функции на отрезке - а < х < а. По
I 12
определению |ф(х)\ dx равно вероятности найти частицу в интервале dx.
Вероятность найти частицу в произвольном месте от -оо до оо
оо
равна f \ip(x)\2dx. Поскольку при этом мы вычислили вероятность до-
- оо
стоверного события, то
ф{х)
Рис. 16. ^-функция электрона после измерения его координаты.
f \ф(х)\2dx = 1.
(1.35)
Условию (1.35) или более общему условию
(1.36)
должна удовлетворять всякая ^-функция, поскольку она является амплитудой
вероятности. Условия (1.35) и (1.36) называются обычно условиями
нормировки.
fff\2p(x, у, z)\ dxdydz = 1
- оо
36
Глава 1
Интеграл (1.35) в нашем случае нетрудно вычислить:
оо а
J \ф(х)\2с1х = J ф$ dx = 2ф$а = 1.
- оо
- а
Таким образом,
фо = 1/л/2а.
(1.37)
Функция, изображенная на рис. 16, очевидно, не является плоской волной
вида егкх. Поэтому после измерения координаты частица не обладает
определенным импульсом. Однако ^-функция (1.37) может быть разложена в
интеграл Фурье, т. е. может быть представлена в виде суперпозиции волн.
В самом деле, по теореме Фурье всякая функция может быть представлена в
виде1 оо
Коэффициенты f(k) определяют вклад различных волн в рассматриваемую
волновую функцию. Поскольку плоская волна представляет собой состояние с
определенным импульсом, формула (1.38) определяет распределение по
импульсу. Физический смысл (1.38) заключается в том, что величина
\f(k)\2dk (1.39)
определяет вероятность того, что волновое число частицы лежит между к и
k-\-dk, и, следовательно, ее импульс заключен между hk и h(k-\-dk) 2.
Мы видим, таким образом, что распределение по координатам (задание ф(х,
у, z)) определяет распределение по импульсам. Поскольку эти распределения
но являются независимыми, между ширинами распределений существует
математическая связь. Эта связь и устанавливается принципом
неопределенности.
Формула (1.38) отличается от обычных формул разложения, принятых в
математике, множителем у/1/2п. Если включить этот множитель в f(k),
формула примет привычный вид.
2Если принять не (1.38), а обычную формулу разложения в интеграл Фурье
ф(х) =
оо _ 2
= f C{k)elkxdx, то |C(fc)| оказывается пропорциональным, но не равным
вероятности
попасть в интервал dk. Чтобы С (к) имело смысл амплитуды вероятности,
нужно потре-
(1.38)
- ОО
- оо
2
бовать, чтобы J |C(fc)| dk = 1. Этому условию удовлетворяет функция f(k),
введенная
в (1.38).
§4. Принцип неопределенности
37
В теории интеграла Фурье указывается формула для нахождения функций f(k):
оо
/(fc) = -L [ ip(x)e~lkxdx (1.40)
у27Г J
- оо
Установим с помощью этой формулы явный вид распределения по импульсам для
^-функции, изображенной на рис. 16. Подставляя в (1.40) значение фо из
(1.37), найдем
f(b) - 1 1 [ е~гкхс1х = 1 (--} (е~гка - егка) = 1
sin(fca)
- а
(1.41)
Вероятность того, что импульс частицы лежит в окрестности р, равна
квадрату модуля f(k):
|/(*)|' = ^^- <!•**>
На рис. 17 приведен график этой функции. Как видно из рисунка,
распределение имеет типично "дифракционный" вид. Как и прежде, примем за
"ширину" распределения расстояние от середины распределения до первого
минимума
А к = тг/а
и, следовательно, Ар = ПАк = Пп/а.
Ширина распределения Ах в нашем случае равна 2а. Имеем, следовательно,
АрАх " 2ттН.
Таким образом, принцип неопределенности Гейзенберга не представляет собой
положения, независимого от других основных положений волновой механики.
После того как выясняется необходимость описывать поведение частиц
волновыми функциями, принцип неопределенности возникает как
математическое следствие теории. В дальнейшем будет показано, что во
многих случаях умелое применение принципа неопределенности позволяет
угадывать основные черты явлений без точного решения уравнений.
Формула (1.40) показывает, что плоские волны, на которые может быть
разложена ^-функция, в каждой точке пространства обладают вполне
определенным сдвигом фаз, т. е. когерентны между собой. Эта когерентность
характерна не только для импульса (для плоских волн),
38 Глава 1
Рис. 17. Распределение электрона по импульсам после измерения его
координаты.
но и для всех физических величин, которые характеризуют состояние частицы
(момент импульса, спин и т.д.).
Чтобы яснее представить себе ограничения, возникающие из принципа
неопределенности, рассмотрим обычный классический метод измерения
