Квантовая физика. Водный курс - Гольдин Л.Л.
Скачать (прямая ссылка):
несущественными по сравнению с размерами и импульсом самого тела, ^-
функции таких тел и распределения по другим физическим переменным крайне
узки. Практически следует считать, что эти величины имеют одно-
единственное, "классическое" значение (которое, конечно, может быть
измерено с помощью опыта). Средние значения физических величин поэтому
совпадают с этим единственным значением.
Рассмотрим в качестве примера связь между энергией и импульсом какого-
нибудь большого тела. В соответствии с (2.22) и (2.18) его средняя
энергия равна
(Т) = J гтфёУ = j r^(p2x+p2v+p2z)4>dv =
= 2bj dV^dVdV =
- 2^; + + ¦
В общем случае эта формула не приводит к классической связи между
энергией и импульсом. Чтобы в этом убедиться, достаточно заметить, что,
вообще говоря1,
<Рх> Ф Ы2-
Рассмотрим, например, средний импульс и средний квадрат импульса у
частицы, импульс которой с равной вероятностью принимает значения а и Ь.
Средний импульс частицы равен (а + 6)/2. Квадраты импульса частицы в
первом и втором состояниях равны соот-
§6. Операторы
49
При очень узких распределениях, когда средние значения совпадают с
единственными, формула дает
(Т) = Т = 2^- [(pi) + (р2) + (p2z}\ = ^(Рх +pI
2m
что находится в согласии с классической физикой.
Найдем оператор полной энергии частицы. Этот оператор называется
оператором Гамильтона Н (по аналогии с гамильтонианом классической
механики). С помощью обычных правил получим
(2.23)
При выводе была использована формула (2.22). Оператор потенциальной
энергии U, как оператор всякой функции координат, равен самой функции.
Найдем, наконец, оператор момента импульса. Будем исходить из формулы
классической механики
i j k
М=[гхр]=ж у z .
Рх Ру Pz
Выпишем в явном виде оператор проекции момента импульса на ось г:
М, = хр, - да, = *(-"!;) - "(-*!;) = -"(*!; - vji)-
Перейдем к сферическим координатам г, ср, связанным с декартовыми
координатами ж, у, г соотношениями (рис. 18)
z = г cos х = г sin д cos ср, у = г sin д sin ср. (2.24)
С помощью (2.24) выразим частную производную по ср через производные по
декартовым координатам:
д _ дх_ _д_ , ^У_ д_ , dz_ д_ _ dip dip дх dip ду dip dz
д д д д
= -г sin д sin ер--h г sin i9 cos (p-- = -у --I x -.
ox oy ox oy
ветственно а2 и b2. Средний квадрат импульса (a2 +62)/2 не равен квадрату
среднего импульса [(а+ 6)/2]2.
50
Глава 2
Сравнивая это выражение с формулой для Mz, найдем
mz = -тА
(2.25)
Рис. 18. Связь декартовой и сферической систем координат.
Вид оператора Mz похож на вид операторов для проекций импульса (2.19).
Этому не следует удивляться. В аналитической механике показывается, что
(р и Mz являются обобщенной координатой и обобщенным импульсом. В
квантовой механике играет большую роль оператор квадрата момента импульса
М2. Он имеет, однако, сложный вид, и мы в этой книге им пользоваться не
будем.
Вернемся к формуле (2.23) для оператора полной энергии. Найдем с помощью
этой формулы связь между средними значениями полной, потенциальной и
кинетической энергий:
(Е) = j ip*HipdV = J ip*(T + U)ipdV = J ip*TipdV + j ip*UipdV,
ИЛИ
(E) = (T) + (U). (2.26)
Среднее значение полной энергии равно сумме средних значении кинетической
и потенциальной энергии. Это утверждение не эквивалентно утверждению
классической физики о равенстве числовых значений Е и T + U. При
обсуждении этого различия следует помнить, что кинетическая энергия
зависит от импульса, а потенциальная энергия - от координат частицы. В
силу соотношения неопределенностей потенциальная и кинетическая энергия
частицы не могут одновременно иметь определенных значений, так что
простое числовое равенство в духе классической физики невозможно. Формула
(2.26) показывает, однако, что классическая связь сохраняется между
средними значениями Е, Т и U.
Формула (2.26) может быть легко обобщена. Повторяя рассуждения, которые
предшествовали этой формуле, нетрудно показать, что из операторного
соотношения
А = В + С
§ 7. Собственные состояния
51
возникает равенство
(Л) = (В) + (С)
(2.26')
для средних значений.
Остановимся на связи между средним значением некоторой величины х (не
обязательно координаты!) и средним значением ее квадрата х2. Всякое
конкретное значение х может быть представлено в виде суммы среднего
значения этой величины и некоторого добавка Ах:
Возьмем среднее от обеих частей равенства. Так как среднее значение суммы
равно сумме средних значений (это следует из (2.1)), то немедленно
получим (Ах) = 0. Найдем теперь среднее значение х2:
же причине среднее значение 2(х)Ах равно нулю. Имеем поэтому
Среднее значение положительной величины (Ах)2 (она носит название
дисперсии) не может быть отрицательным и обращается в нуль в том
единственном случае, когда Ах тождественно равно нулю, т. е. когда нет
никакого распределения, и величина х в условиях поставленной задачи точно
определена (и поэтому выражается некоторым определенным числом).
Формула (2.27) указывает критерии, позволяющий во всякой конкретной
