Квантовая физика. Водный курс - Гольдин Л.Л.
Скачать (прямая ссылка):
значений энергии осциллятора (математические выкладки слишком длинны, и
мы их опускаем):
\/1Нп+Ю'
n = 0, 1, 2,...
Вводя обозначение ujq = лфк/т, найдем
Еп =
(3.27)
§11. Линейный гармонический осциллятор
71
Выражение для совпадает с (3.25) для частоты классического осциллятора.
Как и следовало ожидать, наименьшее значение энергии осциллятора не равно
нулю: при п = 0 Eq = huoo/2. Значение Eq называется "нулевой энергией".
Квантовомеханическая частица не может "лежать" на дне параболической
потенциальной ямы, точно так же как она не может лежать на дне
прямоугольной или какой бы то ни было другой потенциальной ямы конечной
ширины. Порядок величины для Ео может быть оценен из соотношения
неопределенностей.
Сравним (3.27) с (3.13) для возможных значений энергии в прямоугольной
яме. В отличие от энергии уровней в прямоугольной яме, энергия
осциллятора пропорциональна первой степени п, так что энергетические
уровни находятся на равных расстояниях друг от друга (эквидистантны). Эти
энергетические уровни изображены на рис. 25. Осциллятор "может
находиться" на любом из изображенных уровней энергии, но не между ними.
Чтобы "раскачать" осциллятор, нужно добавить ему энергию, равную разности
энергий соседних уровней:
АЕ = Еп-|_i Еп = hujQ.
Если передача энергии осуществляется посредством фотона, то для частоты
фотона имеем
ио = AE/h = ljq. (3.28)
Остановимся на некоторых особенностях классического и
квантовомеханического осцилляторов. У классического осциллятора
зависимость амплитуды колебаний от частоты раскачивающей силы имеет резко
выраженный резонансный характер: осциллятор реагирует лишь на одну
частоту, равную частоте собственных колебаний сио = лфк/т.
Квантовомеханический осциллятор на первый взгляд кажется способным
поглощать целый набор частот, кратных частоте (3.28), и переходить при
этом с нулевого на один из верхних уровней (пунктирные стрелки на рис.
25).
Чтобы выяснить, как обстоит дело с реальными микроскопическими
осцилляторами, например с молекулами, необходимо изучить процесс
взаимодействия света (фотонов) с молекулами и научиться писать и решать
уравнения для систем, меняющих свое состояние во времени (в процессе
взаимодействия). Такие задачи решаются, но находятся вне рамок данного
курса. Точный расчет показывает, что у осциллятора, взаимодействующего со
светом, могут осуществляться переходы только между соседними уровнями;
остальные переходы "запрещены" и происходить не могут.
72
Глава 3
Этот результат можно понять и без расчета, с помощью принципа
соответствия. Будем рассуждать так: при очень больших п
квантовомеханическое решение должно совпадать с классическим, а
классический результат приводит к единственному значению резонансной
частоты too = у/к/т. Значит, по крайней мере для высоких уровней должны
существовать правила, запрещающие протаскивание через несколько уровней.
Так как картина уровней от величины п не зависит, то следует ожидать, что
это правило справедливо для любых п.
Здесь следует указать, что невозможность "прыжков" через несколько
уровней связана не со свойствами осциллятора, а с особенностями его
взаимодействия со светом1. При других методах возбуждения, например при
электронном ударе, такие переходы вполне возможны.
Рис. 26. Волновая функция осциллятора при разных квантовых числах.
\ф(х)\
п = О
и*) г
п = 6
Рис. 27. Распределение частицы при осцилляторном потенциале.
На рис. 26 изображены графики ^-функций, являющихся решением уравнения
(3.26) при п = 0, 1, 2 и 6; вдоль оси х отложены отрезки, равные
амплитудам колебаний классического осциллятора при Е, рав-
^формулированное здесь правило, на самом деле, не является таким жестким
и справедливо только для дипольных переходов, которые обычно и происходят
в атомных системах. Мультипольные переходы могут происходить между
уровнями, которые не являются соседними.
§11. Линейный гармонический осциллятор
73
ных Еп. На рис. 27 сплошными кривыми изображены кривые распределения
плотности вероятности для тех же состояний кванто-
вого осциллятора, а пунктиром - плотность вероятности найти классический
осциллятор в окрестности точки х. Мы видим, что при малых квантовых
числах п квантовомеханический осциллятор ведет себя совершенно иначе, чем
классический. Вероятность найти классический осциллятор всегда является
наибольшей для точки поворота, так как в этих точках его скорость равна
нулю, а для квантовомеханического осциллятора вероятность оказывается
максимальной в точках, соответствующих "пучностям" ^-функции. При больших
п усредненная кривая для распределения плотности вероятности
квантовомеханического осциллятора хорошо согласуется с кривой для
классического осциллятора.
Отметим еще одну особенность квантовомеханического осциллято-
I 12
ра. Из рис. 26 и 27 видно, что ф(х), а следовательно, и не равны
нулю за точками поворота (т. е. вне пределов, ограничивающих движение
классического осциллятора). Такое поведение ^-функции, как уже
