Квантовая физика. Водный курс - Гольдин Л.Л.
Скачать (прямая ссылка):
границе зоны Бриллюэна (точка 4) электрон останавливается. Фазовая
скорость волны при этом остается положительной.
Продолжим воздействовать на электрон той же силой. У правой границы зоны
Бриллюэна происходит процесс переброса, и электрон "перескакивает" к
левой его границе - из точки 4 в эквивалентную ей точку 4' (напомним, что
из импульса частицы всегда можно вычесть 2ттН/а). При дальнейшем движении
скорость меняет знак (движение направо сменяется движением налево), а
энергия уменьшается. Электрон начинает все быстрее двигаться влево. В
точке 5 он замедляет свое движение и, дойдя до точки /, останавливается.
При изображенном на рис. 128 законе дисперсии движение электрона под
действием постоянной силы носит не равноускоренный, а колебательный
характер.
§62. Динамика электронов в кристалле
319
На приведенном примере мы старались показать, какие кардинальные
изменения вносит в динамику частиц кристаллическая решетка. Остановимся
на их причинах. Переход от обычных уравнений Ньютона к уравнениям
(12.33), (12.34) связан, конечно, не с тем, что кристаллическая решетка
видоизменяет законы механики. Дело заключается в другом. Привычный метод
решения сводится к тому, чтобы рассматривать движение электрона в
суммарном поле, созданном как внешними силами, так и зарядами электронов
и ионов, входящих в состав кристалла. Такой подход труден или даже
невозможен. Однако оказывается возможным переписать уравнения Ньютона,
оставив в их правой части одни только внешние силы. За это приходится
расплачиваться изменением уравнений - переходом к уравнению (12.34). При
таком подходе свойства кристаллической решетки включаются в уравнения
движения. Это делается с помощью закона дисперсии Е = Е(р), форма
которого, в принципе, может быть рассчитана, но, как правило,
определяется экспериментально1.
В окрестности точек Е = Ет-т (точка /) и Е = Етах (точки 4 и 4' на рис.
128) зависимость энергии от импульса в первом приближении носит
квадратичный характер. В окрестности точки 1 она может быть изображена в
виде
Е=р2/2т* (12.35)
(коэффициент параболы 1/2га* > 0), а в окрестности точек 4 и 4'
(р - Ра)2 (р - Р4')2 , /ч
Е = Е4 Ч~ ~ V , Е = Е* + У (12.35 )
2га 2га*
(коэффициент параболы 1 /2га* < 0).
В обоих случаях формула (12.34) приобретает привычный вид
v = р/га*, (12.36)
если отсчитывать импульс от вершины параболы. При таком отсчете импульса
формулы (12.35), (12.35') и (12.36) совпадают с обычными формулами
классической механики. Однако вместо массы свободного электрона гае, в
них стоит его эффективная масса га*, которая в центре зоны положительна,
а у краев - отрицательна. При слабой связи, изображенной на рис. 127,
эффективная масса электрона в центре зоны близка к массе свободного
электрона. В реальных случаях связь не слаба, и эти массы могут
отличаться в десятки и даже сотни раз.
!Мы отвлеклись сейчас от квантового характера движения электрона
(дифракция электронной волны и т. д.)
320
Глава 12
Формула (12.35) описывает зависимость энергии от импульса вблизи минимума
потенциальной энергии лишь в изотропном случае. Если кристалл не
изотропен (не обладает кубической симметрией), то эта зависимость имеет
более сложный вид:
г)2 V2 г)2
Е=^т + ^ + ^- (12.35")
2 га* 2 га* 2 га*
Эффективная масса электрона при этом зависит от направления. Вместо
(12.36) имеем
Рх = m*xvx, Ру = m*yVy, pz = m*zvz. (12.36')
В качестве второго примера рассмотрим циклотронный резонанс. Исследуем
движение электронов кристалла в постоянном однородном магнитном поле.
Направим ось Z вдоль вектора магнитной индукции В. Будем считать, что
электроны описываются приведенной массой га*. (Это заведомо так, если
кристалл принадлежит к кубической системе и число электронов в зоне
невелико, так что все они умещаются вблизи дна зоны.) Вместо уравнения
(12.34) можно в этом случае применять (12.36). При этом уравнение (12.33)
приобретает вид
ra*v = |[vB]. (12.37)
Для компонент v имеем vx = ucvy, vy = -oocvx, vz = 0, где
wc = Щ-. (12.38)
гас 4 '
Решение этих уравнений имеет вид
vx = vo sinuct, vy = vo cosujct, vz = const. (12.39)
Электроны движутся по спирали, ось которой совпадает с направлением
вектора В. Направление вращения определяется знаками е и га*. Частота
(12.38) называется циклотронной частотой. Электронный циклотронный
резонанс можно наблюдать на электронах, располагающихся как у нижнего,
так и у верхнего краев зоны.
Величину га* и знак е/га* можно определить с помощью простого
эксперимента. Для этого достаточно вдоль вектора В направить на кристалл
циркулярно поляризованную электромагнитную волну. При частоте, равной
сис, наступает сильное поглощение вследствие циклотронного резонанса.
Поглощение наблюдается лишь при одном из двух возможных направлений
циркулярной поляризации. По найденной частоте из (12.38) можно определить
эффективную массу электронов.
§62. Динамика электронов в кристалле
321
р ,Е
а
б
Рис. 129. Схемы рассеяния электронов на фононах.
