Квантовая физика. Водный курс - Гольдин Л.Л.
Скачать (прямая ссылка):
На динамику электронов в кристалле оказывают существенное влияние дефекты
кристалла и примесные атомы, на которых может рассеиваться электронная
волна. Не меньшее значение имеет рассеяние на фононах. Особенно сильно
оно проявляется при высоких температурах, когда фононов много.
Характерные графики рассеяния приведены на рис. 129. На рис. 129а
изображено рассеяние электрона, приводящее к возникновению фонона.
Возможен и обратный процесс - поглощение фонона электроном. На рис. 129 6
приведена схема рассеяния фонона на электроне. Во всех этих процессах
сохраняются энергия и импульс (с учетом явлений перебро-
Как всегда, процессы рассеяния характеризуются длиной А и временем г
свободного пробега (это время часто называют временем релаксации). С их
помощью можно рассчитать электропроводность и электронную
теплопроводность кристаллов. Расчеты особенно просты в тех случаях, когда
электронов мало и их движение рассчитывается с помощью эффективной массы.
Рассчитаем для примера электропроводность металлов. Под действием
электрического поля Е электроны, находящиеся в зоне проводимости,
приобретают ускорение еЕ/т* и скорость eEt/m*. Производя усреднение по
всем электронам, найдем
где г - среднее время свободного пробега.
Среднюю скорость электронов vcv обычно называют скоростью дрейфа. Как мы
видим, скорость дрейфа пропорциональна напряженности поля Е. Их отношение
называется подвижностью элек-
^ермином "подвижность" в литературе называют две разные по размерностям
величины: коэффициент пропорциональности между скоростью дрейфа частиц и
действующей на них силой и между скоростью дрейфа и напряженностью
электрического поля. Мы здесь применяем этот термин во втором смысле.
са).
(12.40)
трона и:
(12.41)
322
Глава 12
Используя (12.40), можно получить формулу для электропроводности
металлов. В соответствии с законом Ома удельная проводимость сг связана с
плотностью тока j соотношением сг = j/E = nev^/E, где п - концентрация
электронов. С помощью (12.40) и (12.41) найдем
nev со р2
сг = --- = --пт = епи. Ь m
(12.42)
Как мы видим, столкновения электронов приводят к тому, что под действием
постоянной силы электроны приобретают некоторую постоянную среднюю
скорость. В этом смысле поведение электронного газа в кристалле не
отличается от поведения обычного газа и описывается привычными формулами
кинетической теории. Различие состоит только в том, что в формулы входит
не обычная, а эффективная масса электрона (если концентрация свободных
электронов невелика и можно вообще пользоваться понятием массы).
В заключение рассмотрим влияние температуры на электропроводность. Это
влияние может проявляться через изменение п и изменение т. В металлах
проводимость связана с присутствием электронов в зоне проводимости. Их
плотность п мало зависит от температуры. Основную роль играет уменьшение
г при нагревании. Время релаксации г с температурой уменьшается из-за
увеличения числа фононов. Приведем таблицу с экспериментальными данными,
иллюстрирующими зависимость электрического сопротивления от температуры,
для двух металлов - алюминия и меди.
Таблица 8. Удельное электрическое сопротивление (1СГ6 Ом-см) для А1 и Си
при разных температурах
о п А1 Си
-200 -100 0 100 400 0,6 1.5 2.5 3,9 8,0 0,16 0,9 1,5 2,3 4,0
В полупроводниках, т. е. в кристаллах, бедных электронами, решающую роль
играет увеличение п (свойствам полупроводников посвящена гл. 13).
§63. Электроны в металлах
323
§ 63. Электроны в металлах
До сих пор мы исследовали явления, которые могут быть поняты путем
анализа движения "одиночных" электронов, не оказывающих существенного
влияния друг на друга. Во многих практически важных случаях такое
влияние, однако, играет важную или даже определяющую роль. Взаимное
влияние электронов прежде всего сказывается через принцип Паули.
Начнем с оценки. Электроны подчиняются статистике Ферми. Распределение
Ферми изображено на рис. 84 и описывается формулой (8.19):
пе =-----р---------------. (12.43)
ехр[(? - ц)/кТ] +1
Здесь пе - среднее число электронов в одном состоянии, Е - энергия
состояния, II - константа (на самом деле - слабая функция температуры),
носящая название энергии Ферми. Число разрешенных состояний д(Е) dE в
объеме V в интервале энергии dE можно найти с помощью формулы (8.9):
д(Е) dE = 2V ^ % dE. (12.44)
УУ 1 (2тгН) dE у 1
Число 2 заменяет для электронов множитель (2J + 1), определяющий число
спиновых состояний.
Найдем энергию Ферми при Т = 0 для металла, у которого в зоне
проводимости имеется один электрон на атом. Приходящееся на единицу
объема число атомов, а следовательно, и число электронов в зоне
проводимости для всех металлов по порядку величины равно N ~ 1023 см-3.
Из (12.43) следует, что при низких температурах заняты (пе = 1) все
уровни с Е < ц w свободны (пе = 0) все уровни с Е > ц. Примем для оценки,
что электроны в металле свободны (что их энергия и импульс связаны между
собой обычной формулой Е = р2/2т, где m - масса электрона). Интегрируя
