Квантовая физика. Водный курс - Гольдин Л.Л.
Скачать (прямая ссылка):
предел можно заменить бесконечностью, что и было сделано в (13.6).
336
Глава 13
Произведя интегрирование, найдем
г*/кт
(13.7)
(13.8)
Множитель Qn в (13.7) играет роль эффективного числа уровней в зоне
проводимости. Правая часть равенства (13.8) приведена в виде, удобном для
численных оценок. Температура 293 К соответствует комнатной. Формула
(13.8) показывает, что эффективная плотность уровней у полупроводников
существенно меньше плотности ионов в решетке, тогда как у металлов эти
плотности близки друг к другу. Причина различия заключается в том, что у
полупроводников существенны только электронные уровни, расположенные в
области дна зоны проводимости, где мал фазовый объем 4тгр2 dp.
Рассуждая аналогичным образом (смысл величины г] ясен из рис. 136),
найдем
В выражения для Qn и Qp входят эффективные массы электронов и дырок. У
германия и кремния значения масс зависят от направления движения
электронов относительно осей кристалла (см. (12.35"))- Наибольшие
значения эффективных масс (продольные массы) составляют для электронов
1,6гае в германии и 0,98гае в кремнии. Массы дырок соответственно равны
0,34гае, и 0,52гае. Минимальные значения масс (поперечные массы)
существенно меньше. Они составляют для электронов 0,08ше у германия и
0,2ше у кремния. Соответствующие массы для дырок равны 0,04 и 0,16 масс
электрона1.
Остановимся сначала на собственных полупроводниках. У таких
полупроводников концентрации электронов и дырок равны друг другу.
Приравнивая правые части (13.7) и (13.9), найдем
Естественным масштабом для величины rj - ? является ширина щели
(запрещенной зоны) А. Как мы видели, кТ <С А. Приведенные массы
(13.10)
(13.9)
(13.11)
самом деле существует два типа дырок - легкие и тяжелые.
§66. Концентрация электронов и дырок. Энергия Ферми
337
электронов и дырок близки друг к другу, так что 1п(га*/га*) обычно не
превышает единицы. Поэтому с хорошей точностью можно считать
г, = е (13.12)
Уровень Ферми в собственных полупроводниках лежит вблизи середины
запрещенной зоны (практически совпадает с ней).
В полупроводниках n-типа концентрация электронов существенно превышает
концентрацию дырок, а в полупроводниках p-типа преобладает концентрация
дырок. Уровень Ферми в полупроводниках п-т ипа смещен от середины
запрещенной зоны вверх (к зоне проводимости), а в полупроводниках р-т ипа
- вниз, к валентной зоне.
Перемножим формулы (13.7) и (13.9):
пппр = QnQPe~A/kT ¦ (13.13)
При написании (13.13) сумма ? + rj была заменена шириной щели А. Эта
формула показывает, что произведение концентраций электронов и дырок не
зависит от положения уровня Ферми, т. е. от количества примесей в
полупроводнике. При внесении в полупроводник донорных атомов концентрация
электронов увеличивается, а, следовательно, концентрация дырок
уменьшается, а при увеличении числа акцепторных атомов концентрация дырок
увеличивается за счет уменьшения концентрации электронов.
Из (13.12) следует, что в собственном полупроводнике концентрации
электронов и дырок равны друг другу. Обозначая эти концентрации щ, найдем
= пп=Пр = ^QnQpe А/2кТ,
(13.14)
и формула (13.13) может быть записана в более простом виде
пппр = п2. (13.15)
Обратим внимание на показатель экспоненты в (13.14). Он равен -А/2кТ, а
не -А/кТ, как могло бы на первый взгляд показаться. Эта особенность
формулы связана с распределением энергии перехода между электроном и
дыркой. Половина энергии перехода приходится на долю электрона, а
половина - на долю дырки.
338
Глава 13
§ 67. Электропроводность полупроводников
Электропроводность полупроводников, как и любых других тел, определяется
концентрацией носителей тока и их подвижностью. При переходе к
полупроводникам формула (12.42) приобретает следующий вид:
_ 2 (ПпТп , пртр'
ml
ml
= пп\еип \ + пр\еи:
(13.16)
В собственных полупроводниках электроны и дырки вносят сравнимый вклад в
электропроводность. В полупроводниках n-типа основной вклад вносят
электроны, а в полупроводниках р-типа - дырки. В соответствии с величиной
вклада в электропроводность электроны в полупроводниках n-типа и дырки в
полупроводниках р-типа называются основными носителями в отличие от
неосновных носителей, вносящих в электропроводность меньший вклад.
Рассмотрим зависимость электропроводности от температуры. При изменении
температуры электропроводность меняется из-за изменения как концентрации
носителей, так и времени релаксации. В металлах основную роль играет
уменьшение времени релаксации с ростом температуры (с увеличением числа
фононов, на которых, как мы знаем, рассеиваются электроны). В собственных
полупроводниках этот эффект также присутствует, но перекрывается быстрым
увеличением концентрации носителей, которая экспоненциально возрастает с
увеличением Т. Поэтому с ростом температуры электропроводность чистых
полупроводников резко увеличивается.
Рис. 137. Зависимость удельной проводимости примесного полупроводника от
концентрации электронов.
