Квантовая физика. Водный курс - Гольдин Л.Л.
Скачать (прямая ссылка):
(12.44) от нулевой энергии до энергии Ферми,
м
найдем, что концентрация электронов (1/V) f g(E)dE равна
о
w=2-t(f|=
Разрешим полученное выражение относительно ji, и подставим в него
324
Глава 12
принятое значение N:
И = А-(3тг2h3N)2/3 " 5 эВ. (12.46)
Напомним, что энергии 5 эВ соответствует температура около 50 тысяч
градусов Кельвина. Таким образом, энергия Ферми во много раз превышает
температуры, при которых существуют твердые тела. Наша оценка показывает,
что сделанное в начале расчета предположение
о том, что Т " 0, на самом деле является лишним, так как ji всегда
много больше кТ. Таким образом, при любых температурах, при которых
металлы существуют в твердом виде, электронный газ в металлах сильно
вырожден: все нижние состояния зоны проводимости, вплоть до ji, заняты,
все более высокие - свободны, а между ними находится узкая область
шириной порядка кТ, в которой имеются частично занятые состояния.
Электроны, занимающие эту область, - и только они - перераспределяются
при различных физических процессах.
Из сказанного ясно, что в физике металлов важнейшую роль играют
электроны, энергия которых близка к энергии Ферми. Эти электроны
располагаются вблизи поверхности Ферми - поверхности Е = = fi в к- (или
р-) пространстве.
Поверхность Ферми сохраняет периодичность по волновому числу (или
квазиимпульсу) и состоит из повторяющихся геометрических фигур, которые
могут иметь самые разные формы. На рис. 130 изображена поверхность Ферми
для меди. Элементы поверхности имеют почти сферическую форму. Намного
более сложный вид имеет поверхность Ферми у свинца (рис. 131). Большая
или меньшая сложность поверхности Ферми зависит от симметрии
кристаллической решетки и от плотности электронов.
Высокая концентрация электронов в зоне проводимости существенно
сказывается на большинстве физических свойств металлов. Однако она почти
не влияет на теплоемкость металлических кристаллов. При достаточно
высоких температурах теплоемкость как диэлектриков, так и металлов
неплохо описывается формулой Дюлонга и Пти (11.45), в которой учтены
только те степени свободы, которые связаны с движением атомов, и не
принимаются во внимание электроны. По классическим представлениям их
присутствие должно было бы, грубо говоря, удваивать теплоемкость, чего на
самом деле не происходит.
Причина, мешающая электронам проводимости вносить вклад в теплоемкость,
заключается в их вырождении. Подавляющая часть электронов никак не
реагирует на нагрев или охлаждение кристалла, потому что их движение
измениться не может. Повышение температуры
§63. Электроны в металлах
325
сказывается только на той части электронов, энергия которых
близка
к энергии Ферми. При повышении температуры эта область "размывает-
ся", а при понижении - сужается. Доля этих электронов, грубо говоря,
равна отношению "приповерхностного" объема к полному, т. е.
47ГPpdpF _ dpF (4/3)тгр|, ~
где dpp - "область размытия" поверхности Ферми. Полагая для оценки Е =
р2/2т, dEp ~ 2кТ, найдем
dpF _ 1 dEF _ kT Pf ~ 2 И ~ И '
Рис. 130. Поверхность Ферми для Рис. 131. Поверхность Ферми для свинца,
меди.
Таким образом, доля электронов, участвующих в тепловом движении по
порядку величины равна 3кТ/ц, т. е. при Т " 300 К составляет менее 1% от
полного числа электронов. Именно поэтому при нормальных температурах
электроны почти не вносят вклада в теплоемкость.
Ситуация кардинально меняется при низких температурах, когда теплоемкость
решетки резко уменьшается. Произведем простые оценки. Теплоемкость,
приходящаяся на один "полноправный" электрон, равна (3/2)к. Доля таких
электронов, как мы выяснили, составляет ~ 3кТ / ц. Концентрация
электронов была обозначена через N. Таким образом, связанная с
электронами теплоемкость, грубо говоря,
326
Глава 12
равна сэ ~ |kN^j^-, а электронная теплоемкость, рассчитанная на 1 моль (N
= Na), равна
- 9 URT
СЭ, МОЛЬ - 2 /i ¦
В литературе обычно приводится более точная формула для молярной
теплоемкости электронного газа:
(12.47)
Эта формула совпадает с полученной выше с точностью до несущественного
множителя 7г2/9. Таким образом, теплоемкость электронного газа в металлах
линейно зависит от температуры, в то время как теплоемкость решетки
(теплоемкость фононного газа) пропорциональна Т3. Поэтому при достаточно
низких температурах (порядка 1 К) электронная теплоемкость превышает
решеточную.
Вернемся к электропроводности металлов. Формула (12.42) была выведена в
предположении, что все электроны, находящиеся в зоне проводимости,
принимают участие в электропроводности. Не следует ли в эту формулу
внести поправочный фактор 3кТ/ц, подобно тому как это делалось при
расчете теплоемкости? Покажем, что в этом нет необходимости. На рис. 132
изображены две сферические поверхности Ферми - до и после включения
электрического поля. Четкие границы сфер характерны для низких
температур. Результат включения поля можно рассматривать двумя способами.
Можно считать, что сфера перемещается как целое (наша "старая" точка
