Квантовая физика. Водный курс - Гольдин Л.Л.
Скачать (прямая ссылка):
рассчитаем величину электрического тока, связанного с движением дырки:
-Ръ
-Еъ
(13.3)
(13.4)
(13.5)
§65. Электроны и дырки
333
При написании этой цепочки равенств мы снова предполагали, что в зоне не
хватает одного электрона - электрона, движущегося со скоростью vi. Буквой
е обозначена абсолютная величина заряда электрона, его заряд равен -е.
Рис. 135. Образование дырки при переходе электрона из валентной зоны в
зону проводимости. Пунктиром обозначены границы зоны Бриллюэна.
Как мы уже знаем, дырке следует приписывать заряд +е. Из (13.5) следует,
что в электрическом поле дырка приобретает ту же скорость vi, что и
недостающий электрон. Проанализируем полученный результат. При удалении
электронов из валентной зоны первыми освобождаются высоко расположенные
уровни. Эти уровни находятся вблизи границы зоны Бриллюэна (рис. 135),
где кривая потенциальной энергии электрона имеет форму "перевернутой
параболы", ветви которой уходят вниз. Движение электронов в этой области
происходит так, как если бы их масса была отрицательной. Электрон,
обладающий отрицательным зарядом и отрицательной эффективной массой,
движется по направлению электрического поля, т. е. vi направлено по Е.
Значит, и дырка движется по направлению поля, так что ей следует
приписать положительную эффективную массу, равную по модулю отрицательной
эффективной массе недостающего (!) электрона.
Полученный результат заключается, таким образом, в том, что движение
ансамбля электронов, почти заполняющих зону, можно представить как
движение квазичастиц - дырок, несущих заряд +е и имеющих положительную
эффективную массу.
При переходе от рассмотрения совместного движения огромного
334
Глава 13
числа электронов в почти заполненной зоне к исследованию движения
немногочисленных дырок возникает, конечно, колоссальное упрощение - как
качественное, так и количественное.
В полупроводниках электрический ток переносят электроны в зоне
проводимости и дырки в валентной зоне. И те и другие принято называть
носителями электрического тока или просто носителя-м и. Величины,
связанные с электронами, снабжают индексом п (от английского слова
negative - отрицательный); величины, связанные с дырками, снабжают
индексом р (от английского слова positive - положительный). Эти индексы
применяют и в названиях примесных полупроводников: полупроводники с
электронной проводимостью относятся к n-типу, а полупроводники с дырочной
проводимостью - к р-типу1.
Имея в виду, что электрический ток создается как электронами, так и
дырками, нетрудно понять, почему при изучении эффекта Холла в
полупроводниках и в металлах измеряемая экспериментально разность
потенциалов может иметь как "правильный" (соответствующий движению
свободных электронов в электрических и магнитных полях), так и обратный
знак. Обратный знак эффекта Холла (наблюдаемый, например, в цинке и
кадмии) долгое время представлял большие трудности для теории. Мы видим
теперь, что его появление вполне естественно. В настоящее время эффект
Холла широко применяется для изучения концентрации и динамических свойств
носителей электрического тока - электронов и дырок. Знак эффекта
позволяет определить, какие из носителей являются основными.
§ 66. Концентрация электронов и дырок. Энергия Ферми
Электроны и дырки в полупроводниках в большинстве случаев ведут себя как
обычные классические частицы. Их концентрации в соответствующих зонах
невелики, так что нет необходимости учитывать ограничения, налагаемые
принципом Паули. Динамические свойства электронов и дырок описываются
постоянными положительными массами. Наконец, ширина запрещенной зоны А
настолько превосходит тепловую энергию (1 эВ по сравнению 0,025 эВ), что
в распределении Ферми {ехр[(^ - /i)/fcT] +1} 1 можно пренебречь единицей
по сравнению с экспонентой, после чего это распределение переходит в
обычное распределение Больцмана. В результате этого возникают огромные
величины, связанные с дырками, нередко отмечают индексом h, а не р. Это
обозначение взято от слова hole - дырка.
§66. Концентрация электронов и дырок. Энергия Ферми
335
упрощения, позволяющие решать большинство задач с помощью обычных методов
и формул кинетической теории.
Начнем с вычисления концентрации электронов в зоне проводимости. Принятые
ниже обозначения пояснены на рис. 136. Пренебрегая единицей в знаменателе
формулы Ферми, имеем
w-=2/<iSr-(tm) -
s ^
Энергия 1 электрона К dEn Зона проводимости
А I ? Энергия } г/ Ферми
Ь к ё л L} ^ 3>. Валентная зона //////л dEp
Рис. 136. К расчету плотности электронов и дырок в полупроводнике.
Переходя от импульса к энергии с помощью формулы
Рп = \j2m*nEn
и от числа электронов Nn к их концентрации пп = Nn/V, найдем
. оо
= {^^e~UkT J K/2e~E"/kTdEn. (13.6)
О
Интегрирование в (13.6), строго говоря, следует производить от дна до
потолка зоны проводимости. Однако при увеличении Еп экспоненциальный
множитель в подынтегральном выражении настолько уменьшается, что верхний
