Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
n oo i = к + 2
с b
= J f(x)dF(x)+ f f(x)dF(x) + f(c)[F(c + 0)-F(c-0)]. а с + 0
В частности, если изменение функции F (х) происходит только в точках
*-*] » С2 » *> Сп > j ТО Ь 00
/ /(х)dF(x) = 2 f(cn)[F(cn+ 0) - F(c„ - 0)]
a n = 1
и интеграл Стилтьеса сводится к ряду.
Перечислим основные свойства интеграла Стилтьеса, которые нам потребуются в дальнейшем. Доказательства этих свойств легко могут быть проведены читателем, исходя из определения интеграла Стилтьеса и пользуясь рассуждениями, используемыми в теории обычного интеграла.
1. При а < с j < с'2 < ... < сп< Ь
ъ п 4+1
f f (x)dF(x)= 2 / /(x)dF(x) [a = c0, b = cn+1].
152 Гл. 4. Случайные величины
2. Постоянный множитель выносится за знак интеграла
ь ь
/ cf(x)dF(x) = с f f(x)dF(x). а а
3. Интеграл от суммы функций равен сумме их интегралов
Ь п п Ь
/ Z ft(x)dF(x)= Z j fi(x)dF(x).
а ' = 1 ' = 1 а
4. Если /(jc) > 0 и b > а, то
ь
$f(x)dF(x) > 0.
а
5. Если (jc) и F2 (х) — монотонные функции с ограниченным изменением, а с! и с г — произвольные постоянные, то
ь ь ь
/ f{x)d[clFl{x) + c2F2(x)] = с, / /(x)dFi(x) + с2 / f{x)dF2(x).
а а а
х
6. Если F(jc) = / g(u)dG(u), где с — постоянное, g(u) — непрерывная
С
функция и G(u) — неубывающая функция с ограниченным изменением, то
ь ъ
f f(x)dF(x) = j f{x)g{x)dG{x). a a
Использовав понятие интеграла Стилтьеса, мы можем написать общие формулы для функции распределения суммы
F{x) = fFt(x - z)dF2(z) = f F2(x - z)dFt(z)
двух независимых слагаемых, а также частного —
?2
оо о
F(x) = f Fi(xz)dF2(z) + / [1 -F1(xz)]dF2(z)
0 — оо
независимых случайных величин и ?2 в предположении, что
Р{?2 =0} =0.
Упражнения
153
Упражнения
1. Доказать, что если F (х) - функция распределения, то при любом h Ф О функции
х + И х + И
Ф(х) = — / F(x)dx, Ф(х) = —- I F(x)dx
h 2 h
х x — h
также являются функциями распределения.
2. Случайная величина ? имеет F (х) своей функцией распределения (р (х) - плотность распределения). Найти функцию распределения (плотность распределения) случайной величины:
а) ri = а% + Ь, а и b — вещественные числа;
б) т, = Г1 (Р{? = 0> = 0 ;
в) п = tg ?;
г) т] = cos i;
д) V = /(?)> где f (х) - непрерывная монотонная функция без промежутков постоянства.
3. Из точки (0, а) проведена прямая под углом iр к оси Оу.
Найти функцию распределения абсциссы точки пересечения этой прямой с осью Ох, если
а) угол ip равномерно распределен в промежутке (0, я/2),
б) угол Iр равномерно распределен в промежутке (-я/2, я/2).
4. На окружность радиуса R с центром в начале координат наудачу брошена точка [иными словами, полярный угол точки попадания равномерно распределен в промежутке (—тг, тг) ]. Найти плотность распределения
а) абсциссы точки попадания,
б) длины хорды, соединяющей точку попадания с точкой (-/?, 0).
5. На отрезок оси ординат между точками (0, 0) и (0, R) наудачу брошена точка [т.е. ордината этой точки равномерно распределена в промежутке (0, R) ]. Через точку попадания проведена хорда окружности х2 + у1 = R7, перпендикулярная к оси Оу. Найти распределение длины этой хорды.
6. Диаметр круга измерен приближенно. Считая, что его величина равномерно распределена в отрезке (а, Ь), найти распределение площади круга.
7. Плотность распределения случайной величины ? дана равенством
Р (х) =
Найти:
а) постоянную а;
б) вероятность того, что в двух независимых наблюдениях ? примет значения, меньшие 1.
8. Функция распределения случайного вектора (?, ri) имеет вид:
a) F(x, у) = Fi(x)F2(y) + F^x);
б) F(x,y) = Fl(x)F2{y) + F3(x) + F400.
154
Гл. 4 Случайные величины
Могут ли функции F3 (х) и F4 (х) быть произвольными? Зависимы или независимы компоненты вектора (?, rj) ?
9. На отрезок (0, а) наудачу брошены две точки [т.е. их абсциссы равномерно распределены в отрезке (0, а)]. Найти функцию распределения расстояния между ними.
10. На отрезок (0, о) брошено п точек. Считая, что точки разбросаны случайно [т.е. каждая из них расположена независимо от других и распределена равномерно в (0,а)], найти:
