Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
распределенной по закону, указанному в конце § 19, математическое ожидание равно половине.
Заметим, что среди рассмотренных нами ранее случайных величин, случайная величина, распределенная по закону Коши (пример 5 § 21), не имеет математического ожидания.
Перейдем к рассмотрению примеров.
Пример 1. Найти математическое ожидание случайной величины ?, распределенной по нормальному закону
о
оо
М? = — / F(x)dx + / (1 - F(x))dx.
(3)
_____оо
о
У
У = 1
у = F(?)
О
X
Рис. 18
По формуле (2) находим, что
§ 23. Математическое ожидание
161
х - а
Заменой z = —-— мы приводим вычисляемьш интеграл к виду
М? = —-— / (oz + a)e~z* !2dz =
\J 2 7Г
f ze z !2dz +----------------------------f e z l2dz.
V 2 7Г V 27Г
Так как
J e~zll2dz = V27Г и J ze~z* l2dz = 0,
TO
M? = a.
Мы получили важный результат, вскрывающий вероятностный смысл одного из параметров, определяющих нормальный закон: параметр а в нормальном законе распределения равен математическому ожиданию.
Пример 2. Найти математическое ожидание случайной величины ?, равномерно распределенной в интервале (а, Ъ).
Имеем:
ъ dx b2 - а2 а + Ь
М? = /х ------ = -------- = --------- •
а Ъ - а 2 (Ь - а) 2
Мы видим, что математическое ожидание совпадает с серединой интервала возможных значений случайной величины.
Пример 3. Найти математическое ожидание случайной величины ?, распределенной по закону Пуассона
аке~а
Р Ц = к = (? = 0,1,2,...).
к\
Имеем:
М? = 2 к • ----------- = 2 к ¦ ----------- = ае~а 2
*= о к\ к = 1 к\ к = \ {к - ])!
« ак
= ае~а 2 --------- = а.
к = о к\
6.. Б.В. Гнеденко
162 Гл. 5. Числовые характеристики
Если F (х \ В) есть условная функция распределения для случайной величины ?, то интеграл
M($\B) = fxdF(x\B) (4)
мы назовем условным математическим ожиданием случайной величины % относительно события В.
Пусть В j, В2,. ¦ ¦ , Вп — полная группа несовместимых событий и F(x\Bl), F (л: | В 2), . . - , F(x\B„) — соответствующие этим событиям условные функции распределения величины %. Обозначим через F (х) безусловную функцию распределения величины ?; по формуле полной вероятности находим, что
F(x)= 2 P(Bk)F(x\Bk). k = 1
Это равенство совместно с (4) позволяет нам получить следующую формулу:
М?= 2 Р(Вк)Щ$\Вк), к = 1
которая, очевидно, может быть записана и иначе:
М? = М М(?|Я*) . (5)
Только что найденная формула во многих случаях значительно упрощает вычисление математических ожиданий.
Пример 4. Рабочий обслуживает п однотипных станков, расположенных прямолинейно на расстоянии а друг от друга (рис. 19). Считая, что
12 К 77
<?¦'<> о-' О О О' О . р
per
1=Сл-1)а
Рис. 19
рабочий обслуживает станки, подходя к ним в порядке очередности, найти средний переход (математическое ожидание величины перехода) между станками.
Пронумеруем станки слева направо от 1-го до тт-го и обозначим через Вк событие, состоящее в том, что рабочий находится у станка с номером к. Так как все станки по условию задачи однотипны, то вероятность pf-k) того, что следующим станком, потребующим внимания рабочего, будет станок с номером i, равна 1/тт (1 < / < п). Величина перехода X в этом
§ 23. Математическое ожидание
случае равна
x(k)= |(fc-0a при k>i,
' | (/ - к)а при к <
По определению
Ik п
М(Л|2?к) = - ( 2 (к - i)a + 2 (/' - к)а) =
П |=1 !=к+1
¦'(
п \
к(к - I) (п - к)(п - к + 1)
= ---- [2к2 — 2(п + 1)& + п(п + 1)].
2п
Вероятность рабочему находиться у к-то станка равна 1/и, поэтому по формуле (5) находим, что
МЛ = 2 —а— \2кг - 2 (и + 1)Л + я (и + 1)]. k = 1 2п
Известно, что
? ,.2 _ п(п + №п +
Zj К ~~ »
к = 1 6 поэтому
д(п2 - 1) / / 1
МЛ = —----------- = - { 1 + -
Зи 3 \ и
где /= (и — 1)д означает расстояние между крайними станками.
Математическим ожиданием n-м ерной случайной величины (?i. ?2 > • • • > ?„) называется совокупность п интегралов
